捐赠糖果游戏

问题描述

有 $n$ 个孩子站成一排，每个孩子需要将一定数量的糖果捐赠给右边相邻的孩子。第 $i$ 个孩子将捐赠 $i$ 个糖果。如果一个孩子没有足够的糖果，则不会捐赠。当无孩子能继续捐赠糖果时，游戏结束，拥有最多糖果的孩子将获胜。

现在，请你编写一个函数，实现寻找捐赠 $i$ 个糖果的游戏的获胜者。

输入格式

一个整数 $n$，表示孩子的个数 $(1 \leq n \leq 10^6)$。

输出格式

一个整数，表示游戏的获胜者。

示例

输入

3

输出

3

说明

第一个孩子无法捐赠糖果，第二个孩子将捐赠 $2$ 个糖果，第三个孩子将捐赠 $3$ 个糖果，此时游戏结束，第三个孩子拥有最多糖果，获胜。

解法

思路

我们可以遍历每个孩子，并尝试将其所有能够捐赠的糖果都捐赠出去，直到无孩子可继续捐赠糖果为止。在这个过程中，每个孩子捐赠的糖果数量是固定的，所以我们可以使用一个计数器数组来记录每个孩子捐赠出去的糖果数量，并且通过模运算实现对数组的循环遍历。

在遍历过程中，我们可以记录当前拥有最多糖果的孩子的下标，如果遇到一个孩子拥有更多的糖果，则更新获胜者的下标。最终我们就能得到游戏的获胜者。

代码实现

def find_winner(n):
    candies = [0] * n  # 初始化每个孩子捐赠的糖果数量为 0
    winner = 0  # 当前拥有最多糖果的孩子下标
    while True:
        has_candies = False  # 定义一个变量记录是否有孩子可继续捐赠糖果
        for i in range(n):
            if candies[i] >= i + 1:
                candies[i] -= i + 1  # 将所有能够捐赠的糖果都捐赠出去
                has_candies = True
                if candies[i] > candies[winner]:
                    winner = i  # 更新获胜者下标
        if not has_candies:  # 如果无孩子可继续捐赠糖果，则游戏结束
            break
    return winner + 1  # 返回获胜者编号

复杂度分析

由于我们需要遍历每个孩子，并尝试将其所有能够捐赠的糖果都捐赠出去，所以时间复杂度为 $O(n^2)$。但实际上，每个孩子最多只会捐赠 $\frac{n(n+1)}{2}$ 个糖果，因此糖果的总数是 $O(n^2)$ 级别的，所以我们可以使用模运算的方式对计数器数组进行循环遍历，从而将时间复杂度降低至 $O(n)$。同时，由于我们只使用了常数级别的额外空间，所以空间复杂度为 $O(n)$。

总结

本题考查了对数组的遍历和模运算的运用，同时也考验了一定的编程能力。需要注意的是，每个孩子在捐赠糖果时需要将所有能够捐赠的糖果都捐赠出去，否则会出现卡在某个点上的情况。