MO的算法（查询平方根分解）

简介

MO的算法是一种用于解决查询问题的算法，特别适用于静态区间查询。它通过对查询的离线排序和分块处理，提高了查询的效率。

该算法最初由J. Mo在1992年提出，因此得名MO算法。

适用场景

MO算法适用于那些需要频繁查询指定区间的问题，例如：

• 区间和：对于一个给定的数组，查询给定的区间内的所有元素之和。
• 区间最大值/最小值：查询给定的区间内的最大值或最小值。
• 区间频数：查询给定的区间内某个元素出现的频数。

算法步骤

1. 将所有的查询按照一定的顺序进行离线排序。排序的目的是为了让相邻的查询在位置上尽量接近，以便提高缓存命中率。
2. 根据排序后的查询，确定每个查询的块编号和左右边界。
3. 初始化统计结果和块内的答案。
4. 依次处理每个查询，更新答案。
   • 如果当前查询的左右边界与上一个查询的边界相同，那么它们处于同一个块内，我们只需要在处理上一个查询的答案基础上稍作修改即可。
   • 如果当前查询的左边界不同于上一个查询的左边界，那么我们需要将上一个查询的右边界向左移动，并更新答案。
   • 如果当前查询的右边界不同于上一个查询的右边界，那么我们需要将上一个查询的右边界向右移动，并更新答案。
   • 将当前查询的结果更新到统计结果中。
5. 返回最终的统计结果。

优势和注意事项

• MO算法的时间复杂度为O((n+m)√n)，其中n是数组的长度，m是查询的数量。相较于暴力解法的O(nm)，MO算法具有更优的时间复杂度。
• MO算法适用于静态查询，即查询和数据更新的比例较低。
• MO算法要求查询的函数必须满足区间可加性，即对于任意区间[a, b]，查询函数满足query(a, b) = query(1, b) - query(1, a-1)。

示例代码

# MO的算法示例代码

class Query:
    def __init__(self, l, r, idx):
        self.l = l
        self.r = r
        self.idx = idx
    
# 排序函数，按照块编号和右边界进行排序
def compare(query):
    return (query.l // blockSize, query.r)

def mo_algorithm(arr, queries):
    n = len(arr)
    blockSize = int(math.sqrt(n))
    queries.sort(key=compare)
    
    left = 0
    right = -1
    result = []
    # 初始化统计结果和块内的答案
    ans = 0
    count = [0] * (max(arr) + 1)
    
    for i in range(len(queries)):
        query = queries[i]
        # 将上一个查询的右边界向右移动，并更新答案
        while right < query.r:
            right += 1
            count[arr[right]] += 1
            ans += count[arr[right]] * count[arr[right]] * arr[right]
        
        # 将上一个查询的右边界向左移动，并更新答案
        while right > query.r:
            count[arr[right]] -= 1
            ans -= count[arr[right]] * count[arr[right]] * arr[right]
            right -= 1
        
        # 更新答案
        while left < query.l:
            count[arr[left]] -= 1
            ans -= count[arr[left]] * count[arr[left]] * arr[left]
            left += 1
        
        while left > query.l:
            left -= 1
            count[arr[left]] += 1
            ans += count[arr[left]] * count[arr[left]] * arr[left]
        
        result.append(ans)
    
    return result

以上是MO的算法的简介，包括算法步骤、适用场景、优势和注意事项，并附上了一段示例代码供程序员参考。