使用 MO 算法查询值在 A 到 B 范围内的元素

介绍

MO 算法是一个常见的算法，在数组中查询满足一定条件的元素。使用 MO 算法可以有效地处理多个离线查询。本文将介绍如何使用 MO 算法查询数组中值在 A 到 B 范围内的元素。

算法流程

MO 算法的核心思想是利用分块技术，将查询离线化。首先将所有的查询按照左端点所在块号从小到大排序，对于左端点所在块号相同的查询，按右端点从小到大排序。接着，我们维护一个数组 $cnt$ ，$cnt_i$ 表示数组中 $i$ 元素出现的次数。然后，从 $L$ 到 $R$ 遍历数组，记录当前元素出现的次数，如果当前元素出现的次数在 $[A, B]$ 范围内，则将该元素加入答案中。遍历结束后，输出答案即可。

MO 算法是一个时间复杂度为 $O(\sqrt{n}(n+q))$ 的算法，其中 $n$ 表示数组大小，$q$ 表示查询次数。由于 MO 算法是一种离线算法，因此适用于不经常更新但需要频繁查询的情况。

代码实现

下面给出使用 C++ 实现的代码片段：

const int BLOCK_SIZE = 500;

struct query {
    int l, r, id;

    bool operator < (const query& q) const {
        if (l / BLOCK_SIZE != q.l / BLOCK_SIZE) {
            return l < q.l;
        }
        return (l / BLOCK_SIZE & 1) ? (r < q.r) : (r > q.r);
    }
};

vector<int> mo_algorithm(const vector<int>& a, const vector<query>& q, int A, int B) {
    vector<int> ans(q.size());
    vector<int> cnt(*max_element(a.begin(), a.end()) + 1);
    int l = 0, r = -1, sum = 0;
    for (auto& q_: q) {
        while (l > q_.l) {
            --l;
            ++cnt[a[l]];
            if (cnt[a[l]] == A) {
                ++sum;
            } else if (cnt[a[l]] == B + 1) {
                --sum;
            }
        }
        while (r < q_.r) {
            ++r;
            ++cnt[a[r]];
            if (cnt[a[r]] == A) {
                ++sum;
            } else if (cnt[a[r]] == B + 1) {
                --sum;
            }
        }
        while (l < q_.l) {
            --cnt[a[l]];
            if (cnt[a[l]] == A - 1) {
                --sum;
            } else if (cnt[a[l]] == B) {
                ++sum;
            }
            ++l;
        }
        while (r > q_.r) {
            --cnt[a[r]];
            if (cnt[a[r]] == A - 1) {
                --sum;
            } else if (cnt[a[r]] == B) {
                ++sum;
            }
            --r;
        }
        ans[q_.id] = sum;
    }
    return ans;
}

总结

本文介绍了 MO 算法的原理和实现方法，并给出了使用 C++ 实现的代码片段。MO 算法是一个时间复杂度为 $O(\sqrt{n}(n+q))$ 的算法，适用于多次查询但不经常更新的情况。如果您对 MO 算法感兴趣，可以继续深入了解。