使用MO算法查询给定范围内的偶数和元素的计数

MO算法是一种区间查询算法，可以在O(√n)的时间内完成区间查询问题。

算法思路

MO算法的核心思路是将所有询问离线下来，然后将查询区间按照其左端点所在块的编号排序。然后在每个块中对查询区间进行处理，避免重复计算。

具体步骤如下：

1. 将所有询问离线下来，按照左端点块编号为第一关键字、右端点为第二关键字进行排序。
2. 定义两个指针$l$和$r$，初始时均指向第一个询问，同时统计区间$[l,r]$中每个元素出现的次数。这里用$c_i$表示元素$i$出现的次数。
3. 对于每个询问，将指针移动到当前询问的左右端点，同时统计每个元素出现的次数。
4. 对于查询区间$[l,r]$中的元素，如果$c_i$是偶数，则将其加入sum中。

实现代码

以下是在C++中使用MO算法查询给定范围内的偶数和元素的计数的示例代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAXN = 100010;

int n, m; // n 为元素个数，m 为询问次数
int a[MAXN]; // 存放所有元素
int l[MAXN], r[MAXN], idx[MAXN]; // 存放所有询问的左右端点及其编号
int c[MAXN], sum[MAXN]; // c 数组记录元素出现次数，sum 数组记录查询区间内偶数元素的总数
int block; // 分块的大小

struct Query {
    int l, r, id;
    bool operator < (const Query& other) const {
        if (idx[l] == idx[other.l]) {
            return (idx[l] & 1) ? r > other.r : r < other.r;
        }
        else {
            return l < other.l;
        }
    }
} q[MAXN];

void add(int x) {
    // 将元素 x 加入查询区间，更新元素出现次数和偶数元素总数
    c[x]++;
    sum[x % 2 == 0 ? 1 : 0]++;
}

void del(int x) {
    // 将元素 x 从查询区间中删除，更新元素出现次数和偶数元素总数
    c[x]--;
    sum[x % 2 == 0 ? 1 : 0]--;
}

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    block = sqrt(n);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        scanf("%d", &a[i]);
        idx[i] = i / block;
    }
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        scanf("%d%d", &l[i], &r[i]);
        q[i] = { l[i], r[i], i };
    }
    sort(q + 1, q + m + 1);
    int curL = 1, curR = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        int L = q[i].l, R = q[i].r, id = q[i].id;
        while (curL < L) del(a[curL++]);
        while (curL > L) add(a[--curL]);
        while (curR < R) add(a[++curR]);
        while (curR > R) del(a[curR--]);
        // 查询区间[L,R]中偶数元素的个数
        printf("在区间[%d,%d]中的偶数元素个数为：%d\n", L, R, sum[1]); 
    }

    return 0;
}

总结

MO算法是一种比较高效的区间查询算法，适用于绝大部分可以离线的区间查询问题。算法思路比较简单，但细节较多，需要认真地理解。