门|门模拟 2017 |问题 26

该主题涉及到了计算机科学领域中的图论，具体来说是关于广度优先搜索（BFS）和深度优先搜索（DFS）的应用。

题目描述

给定一个 $N*M$ 的矩阵，矩阵的每个元素要么是 "."，要么是 "#"。其中 "." 表示门，"#" 表示墙。你需要找到一个门到另一个门的最短距离。门可以通往上下左右四个方向的相邻格子，但不能穿墙而过。如果无法从一个门到达另一个门，则输出字符 "O"(大写字母O）。

思路

要找到一个门到另一个门的最短距离，很容易想到使用广度优先搜索（BFS）。具体来说，我们可以从一个门作为起点，对矩阵进行 BFS，直到找到另一个门为止。在 BFS 过程中，我们需要使用一个队列来存储每一层的元素。

如果无法从一个门到达另一个门，则输出 "O"，这种情况可以使用深度优先搜索（DFS）来解答。在 DFS 过程中，我们需要遍历整个矩阵，查找是否存在一个门无法到达另一个门。

代码实现

下面提供基于 Python 语言的 BFS 和 DFS 代码实现，其中 $\texttt{wall}$ 为墙的标记（本题中为 "#"），$\texttt{gate}$ 为门的标记（本题中为 "."），$\texttt{start}$ 和 $\texttt{end}$ 是起点和终点的坐标（可以随意指定一个门的位置作为起点，另一个门的位置作为终点）。

# 定义增量矩阵
move = [(0, 1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)]

def bfs(matrix, start, end, wall, gate):
    # 定义队列
    queue = []
    # 访问标记数组
    visited = [[False] * len(matrix[0]) for _ in range(len(matrix))]
    # 把起点加入队列
    queue.append(start)
    visited[start[0]][start[1]] = True
    # 初始化步数为 0
    step = 0
    # 当队列不为空时，一直进行 BFS
    while queue:
        step += 1
        # 遍历当前层的所有元素
        for _ in range(len(queue)):
            curr = queue.pop(0)
            # 判断是否到达终点
            if curr == end:
                return step - 1
            # 遍历四个子节点
            for m in move:
                i = curr[0] + m[0]
                j = curr[1] + m[1]
                if i >= 0 and i < len(matrix) and j >= 0 and j < len(matrix[0]) and \
                   not visited[i][j] and matrix[i][j] != wall:
                    queue.append((i, j))
                    visited[i][j] = True
    # 如果无法到达终点，则返回 -1
    return -1

def dfs_helper(matrix, x, y, visited, wall):
    # 标记当前位置已访问
    visited[x][y] = True
    # 遍历四个子节点
    for m in move:
        i = x + m[0]
        j = y + m[1]
        if i >= 0 and i < len(matrix) and j >= 0 and j < len(matrix[0]) and \
           not visited[i][j] and matrix[i][j] != wall:
            dfs_helper(matrix, i, j, visited, wall)

def dfs(matrix, wall):
    # 访问标记数组
    visited = [[False] * len(matrix[0]) for _ in range(len(matrix))]
    # 查找门的位置作为起点
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(len(matrix[0])):
            if not visited[i][j] and matrix[i][j] != wall:
                dfs_helper(matrix, i, j, visited, wall)
                # 如果有一个门无法到达，则返回 "O"
                if not any([False in row for row in visited]):
                    return -1
                # 否则返回 0
                else:
                    return 0
    # 如果没有门，则返回 "O"
    return -1

参考资料

1. BFS模板
2. DFS模板