Python | 累积记录的数学中位数

介绍

在统计学和概率论中，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数值，即将所有观察值按大小排序，中间那个观察值就是中位数。当观察值有偶数个时，取中间两个数的算术平均数作为中位数。

累积记录的数学中位数是指在一个从1到n的输入序列中，当新的元素插入时，会计算新的中位数，而不是重新排序，在某些应用中这是非常有用的。

本文将介绍如何使用Python来实现累积记录的数学中位数。

核心实现

本文中，我们将使用两个堆来实现累积记录的数学中位数，一个最大堆和一个最小堆，最大堆存储前一半元素，最小堆存储后一半元素，这样我们可以很容易地找到中位数。当元素个数为偶数时，中位数为最大堆的最大值和最小堆的最小值的平均数，当元素个数为奇数时，中位数为最大堆的最大值。

我们需要维护以下两个条件：

1. 最大堆的大小不能小于最小堆的大小；
2. 最大堆的最大值不能大于最小堆的最小值。

我们可以这样实现：

import heapq

class MedianFinder:

    def __init__(self):
        """
        initialize your data structure here.
        """
        self.max_heap = []
        self.min_heap = []

    def addNum(self, num: int) -> None:
        if len(self.max_heap) == len(self.min_heap):
            if self.max_heap and num < -self.max_heap[0]:
                heapq.heappush(self.max_heap, -num)
                num = -heapq.heappop(self.max_heap)
            heapq.heappush(self.min_heap, num)
        else:
            if self.min_heap and num > self.min_heap[0]:
                heapq.heappush(self.min_heap, num)
                num = heapq.heappop(self.min_heap)
            heapq.heappush(self.max_heap, -num)

    def findMedian(self) -> float:
        if len(self.max_heap) == len(self.min_heap):
            return (-self.max_heap[0] + self.min_heap[0]) / 2.0
        else:
            return -self.max_heap[0]

运行示例

obj = MedianFinder()
obj.addNum(1)
obj.addNum(2)
assert obj.findMedian() == 1.5
obj.addNum(3)
assert obj.findMedian() == 2.0

总结

在本文中，我们介绍了如何使用Python来实现累积记录的数学中位数，通过使用两个堆来维护元素的顺序，可以在O(log n)的时间复杂度下找到中位数。这是一个非常有用的算法，在处理实时数据流时非常有实际用途。