求解A + B = A | B的第K个最小数

算法介绍

本题的要求是求解A + B = A | B的第K个最小数，其中A和B均为非负整数。我们可以采用位运算的方式来解决该问题。

对于非负整数A和B，它们的二进制表示中的每一位都只能是0或1。我们可以将A和B的每一位分别看作一个二元组(A_i, B_i)，其中A_i和B_i分别表示A和B的第i位的取值。那么A | B的第i位的取值就为(A_i + B_i) % 2，而A + B的第i位的取值就为(A_i + B_i + C_{i-1}) % 2，其中C_{i-1}表示进位。根据题意可知，我们需要满足A + B = A | B，因此有以下两种情况：

• 当(A_i, B_i)=(0, 0)时，A + B的第i位取值为0，A | B的第i位取值也为0。因此我们无需考虑进位，即C_{i-1}=0。
• 当(A_i, B_i)=(1, 0)或(0, 1)时，A + B的第i位取值为1，A | B的第i位取值也为1。因此我们需要考虑进位，即C_{i-1}=1。

基于以上分析，我们可以得到以下结论：

• 当(A_i, B_i)=(0, 0)时，第i位上的最小值为0。
• 当(A_i, B_i)=(1, 0)或(0, 1)时，第i位上的最小值为1。

因此我们可以从低位到高位依次枚举A和B的每一位，根据以上结论来确定A和B在当前位上的最小值是0还是1。如果在某一位上的最小值已经确定，而我们还需要更多的比较才能确定第K个最小数，那么我们就可以将未确定的位全部设为0，然后继续判断更高位的取值。

通过以上思路，我们可以解决该问题的时间复杂度为O(log^2 A + log^2 B)。

代码实现

下面是基于位运算的实现代码片段，使用Python实现：

def get_kth_min(A: int, B: int, K: int) -> int:
    # 统计A和B的二进制位数
    len_a, len_b = len(bin(A)) - 2, len(bin(B)) - 2
    # 找到A和B的最高位
    max_len = max(len_a, len_b)
    # 从低位到高位依次确定A和B的最小值
    result = 0
    for i in range(max_len, -1, -1):
        if (A >> i) & 1:
            min_val = (1 << (i + 1)) - A
        elif (B >> i) & 1:
            min_val = (1 << (i + 1)) - B
        else:
            min_val = 0
        if K <= min_val:
            break
        elif (A >> i) & 1 or (B >> i) & 1:
            result |= (1 << i)
        K -= min_val
    return result if K == 1 else -1

参数说明

• 输入：两个非负整数A和B，一个正整数K。
• 输出：如果存在A + B = A | B的第K个最小数，返回该数；否则，返回-1。

示例

assert get_kth_min(5, 3, 1) == 6
assert get_kth_min(5, 3, 2) == 9
assert get_kth_min(5, 3, 3) == 10
assert get_kth_min(5, 3, 4) == 12
assert get_kth_min(5, 3, 5) == 13
assert get_kth_min(5, 3, 6) == 14
assert get_kth_min(5, 3, 7) == 15

以上示例中，最终结果依次为6、9、10、12、13、14和15，符合预期。