求第K个最小数，使得A + B = A | 乙

在面试过程中，有时会遇到这样的问题：给定两个整数A、B，求满足 A + B = A | B 的第K个最小的正整数。本篇文章将讨论如何编写一个解决这个问题的算法。

问题分析

首先，我们需要理解这个问题是什么意思。 "|" 符号代表按位或（OR）运算符。比如， 3 | 5 = 7。那么，A | B 表示A和B中每个相应位的值按位或，最终得到的结果是一个新的二进制数。另一方面，A + B 表示A和B的加法运算。因此，这个问题的目标是找到一个满足“按位或”和“加法”的等式，且结果为第K个最小正整数。

解法

问题可以转化为寻找满足 A + B = C（其中C是A和B的按位或结果）的第K个最小的C，其中 1 <= K <= 10^5。 我们可以使用二进制下的位运算来解决这个问题。

首先，让我们考虑什么样的数字才能成为 A | B，它至少包括了 A 和 B 的所有二进制位上的 1。举个例子，如果 A = 1011（十进制为 11）， B = 1101 （十进制为 13），则 A | B = 1111 （十进制为 15）。在二进制下，我们可以看到 A | B 包含了 A 和 B 中所有的位 1。

现在，我们需要选择这些位 1 以在 A 和 B 中决定它们的位置分配。我们可以按从左到右的顺序处理二进制位，将对应位相加然后进行比较：

1. 如果 A 的这个位上是 0, B 的这个位上是 1，则可以将这个 1 分配给 A。这样，C 的这个位将设置为 1，从而增加了 它的值。

2. 如果 A 和 B 的这个位都是 1，则可以将这个位都分配给 A 或 B。不管 A 得到这个位，还是 B 得到这个位，都不会改变 C 的值。

3. 如果 A 和 B 的这个位都是 0，则不能将任何位分配给 A 或 B。

根据这些规则，我们可以处理这些位 1。接下来，我们进行对应位的相加，检查二进制和之后是否等于 C。如果是，则找到了一个可能的 C。否则，我们需要继续找到一个更大的C（直到找到第K个 C 或没有更多的 C 为止）。

最后，让我们看一下算法的具体实现：

def find_Kth(A, B, K):
  cnt = 0
  for i in range(31, -1, -1):
    if (A >> i) & 1:
      for j in range(i, -1, -1):
        if (B >> j) & 1:
          cur = ((A >> i) << i) + ((1 << j) - 1)
          if cur <= A + B:
            cnt += 1
            if cnt == K:
              return cur
    if (B >> i) & 1:
      for j in range(i, -1, -1):
        if (A >> j) & 1:
          cur = ((B >> i) << i) + ((1 << j) - 1)
          if cur <= A + B:
            cnt += 1
            if cnt == K:
              return cur
  return -1

总结

本文中，我们介绍了如何寻找满足 A + B = A | B 的第 K 个最小的正整数。使用二进制下的位运算可以解决这个问题。需要注意的是，在典型情况下，该算法可以在O(1)时间内完成。但是，最坏情况下，需要O(logN)步来查找第K个情况，所以时间复杂度为O(logN)。