包含2的幂的数组，其XOR和元素之和等于X

如果你是一位熟悉位运算的程序员，你可能了解XOR运算符（^）。XOR运算是指对两个二进制位进行比较，如果相同则返回0，不同返回1。在计算机科学中，XOR运算的一个重要应用是加密和校验和。但是，它也可以用来解决一个有趣的问题：

给定一个非负整数X，找到一个包含2的幂的数组（每个元素都是2的幂），使得将数组中所有元素进行XOR运算的结果等于X，并且数组中所有元素的总和最小。

在本文中，我们将介绍如何通过位运算来解决这个问题。我们将首先介绍XOR运算和2的幂，然后我们将讨论如何找到这样的数组，以及如何计算它的总和。

XOR运算和2的幂

XOR运算是一种位运算，它对两个二进制位进行比较，如果它们相同，则返回0，否则返回1。例如，XOR运算符应用于二进制数字1101和1010将返回0111。

另一方面，2的幂是指二进制中只有一个位是1，其余所有位都是0的数字。例如，2的3次方是8，用二进制表示为1000。2的4次方是16，用二进制表示为10000。由于这些数字只有一个位是1，我们可以使用位运算来将它们添加到其他数字中，例如：

• 将2的3次方添加到5：5 | (1 << 3) = 13（二进制表示为1101）
• 将2的4次方添加到9：9 | (1 << 4) = 25（二进制表示为11001）

找到包含2的幂的数组

为了找到一个包含2的幂的数组，使得它们的XOR和等于X，我们可以使用位运算。具体来说，我们可以从X的最高位（即最左侧的1）开始，向左移动，每次将2的幂添加到结果中，直到我们到达0。为了确保结果的XOR和等于X，我们需要确保将2的幂添加到结果中所需的位与X相同。

以下是一个Python函数，它实现了这个算法：

def find_pow_array(x):
    result = []
    while x > 0:
        pow2 = 1
        while pow2 << 1 <= x:
            pow2 <<= 1
        result.append(pow2)
        x ^= pow2
    return result

该函数使用两个while循环。外部while循环将从X的最左侧的1开始向左移动，直到我们到达0。内部while循环将找到最大的2的幂，该幂小于或等于当前位置的值。然后我们将该幂添加到结果中，并将其从X中删除。最后，我们返回包含2的幂的数组。

例如，如果X等于21，该函数将返回[1, 4, 16]，因为21的二进制表示为10101，其中最左侧的1在第5位。因此，我们将从第5位开始，优先选择16。然后，我们剩余的值为5，其二进制表示为101。因此，我们将在第2位选择4，剩余的值为1，它可以表示为2的0次方（即1）。因此，我们的最终答案是[1, 4, 16]。

计算数组的总和

给定一个包含2的幂的数组，我们可以通过对所有元素进行求和来计算它的总和。然而，我们可以使用位运算来计算该和，这将更为高效。我们只需要将数组中的所有元素取出，并分别计算它们在所有数字中出现的次数（假设数组中包含n个元素）。对于2的幂i，它在所有数字中出现的次数是n / 2^(k-i)，其中k是数组中最大的幂。使用这个公式，我们可以计算所有幂的总和，并以O(1)时间返回结果。

以下是一个Python函数，它计算一个包含2的幂的数组的和：

def sum_pow_array(arr):
    k = max([log2(x) for x in arr])
    n = len(arr)
    return sum(n // pow(2, k - i) for i in range(k+1))

该函数首先找到数组中最大的幂k。然后，它使用len函数计算数组中的元素数量n。最后，它计算所有幂的总和，并使用sum函数返回结果。注意，在该计算中使用了取整运算符，这将确保我们获得正确的结果。

总结

在本文中，我们介绍了如何使用位运算来解决一个有趣的问题：找到一个包含2的幂的数组，其XOR和元素之和等于给定值X。通过使用XOR运算符和2的幂，我们可以有效地找到这样的数组，并计算它的总和。我们使用Python编写了两个函数，一个用于查找该数组，另一个用于计算其总和。这些函数可以在O(logX)时间内解决问题。