最大流量的 Dinic 算法

Dinic 算法是解决最大流量问题的一种有效算法。 最大流量问题是指在一个网络中的两个节点之间有多条路径，每条路径都有一个权重，求出从一个节点到另一个节点的最大权重和。

算法步骤

Dinic 算法主要分为以下几个步骤：

1. 构建残留网络：将原始网络中所有的边按照正向和反向各建立一条边，初始时所有边的权重均为原始网络中对应边上的权重。

2. 使用 BFS 算法搜索残留网络中的一条增广路径，如果找不到增广路径则跳出循环。

3. 对增广路径上的所有边进行改变，将其权重减去增广路径中最小边权。

4. 计算增广路径中的最大流量，将其加入网络总流量中。

5. 重复步骤 2~4 直到找不到增广路径。

代码实现

以下是 Python 代码实现最大流量的 Dinic 算法，其中 calculate_max_flow 函数即为主函数。

from collections import deque


def construct_residual_network(graph):
    residual = {}
    for node in graph:
        residual[node] = {}
        for neighbor, capacity in graph[node].items():
            residual[node][neighbor] = capacity
            residual[neighbor][node] = 0

    return residual


def bfs(residual, start, end):
    visited = {start}
    queue = deque([(start, [])])
    while queue:
        node, path = queue.popleft()
        for neighbor, capacity in residual[node].items():
            if capacity and neighbor not in visited:
                if neighbor == end:
                    return path + [(node, neighbor, capacity)]
                visited.add(neighbor)
                queue.append((neighbor, path + [(node, neighbor, capacity)]))

    return None


def calculate_max_flow(graph, start, end):
    residual = construct_residual_network(graph)
    max_flow = 0
    while True:
        path = bfs(residual, start, end)
        if not path:
            break
        flow = min(capacity for _, _, capacity in path)
        max_flow += flow
        for node1, node2, capacity in path:
            residual[node1][node2] -= flow
            residual[node2][node1] += flow

    return max_flow

性能

Dinic 算法的时间复杂度为 $O(EV^{2})$，其中 E 和 V 分别是网络中的边数和节点数。实际应用中性能表现优异，常被用于解决网络流问题。