给定数组中的最小子数组，其总和大于或等于 K

在算法和数据结构领域中，我们经常会遇到需要寻找一个数组中最小的子数组，使得该子数组的总和大于或等于 K 的情况。这个问题在很多应用场景中都有用处，例如寻找一个连续的时间段内的最小活动时间，寻找一段视频中最小的关键帧等等。

问题描述

假设给定一个数组 arr 和一个整数 K，要求寻找该数组中的最小子数组，使得该子数组的总和大于或等于 K。如果不存在这样的子数组，则返回空。

例如，给定一个数组 arr = [1, 2, 3, 4, 5] 和一个整数 K = 9，则其最小的子数组为 [2, 3, 4]，其和为 9。

解决方案

暴力法

最简单的解决方案是通过暴力枚举的方式，遍历所有子数组的可能组合，找到满足条件的最小子数组。

def min_subarray(arr, K):
    n = len(arr)
    ans = float('inf')
    for i in range(n):
        sum = 0
        for j in range(i, n):
            sum += arr[j]
            if sum >= K:
                ans = min(ans, j - i + 1)
                break
    if ans == float('inf'):
        return []
    else:
        return ans

该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(1)$。

前缀和 + 二分查找

在暴力法中，我们需要不断地计算子数组的和，从而得到满足条件的最小子数组。而通过前缀和的方式，我们可以用 $O(1)$ 的时间复杂度计算任意子数组的和。

具体来说，我们可以先计算出数组 arr 的前缀和 pre，然后对于任意下标 i 和 j，该子数组的和即为 pre[j] - pre[i-1]。由此，我们可以将该问题转化为为寻找一对下标 i 和 j，使得 pre[j] - pre[i-1] >= K，并且 j - i + 1 最小的情况。

唯一的问题是如何寻找这样的一对下标 i 和 j。我们可以采用二分查找的方式，在 pre 数组中寻找一个下标 j，满足 pre[j] - pre[i-1] >= K，并且 j - i + 1 最小的情况。

def min_subarray(arr, K):
    n = len(arr)
    pre_sum = [0]
    for num in arr:
        pre_sum.append(pre_sum[-1] + num)
    ans = float('inf')
    for i in range(1, n+1):
        target = K + pre_sum[i-1]
        j = bisect_left(pre_sum, target)
        if j <= n:
            ans = min(ans, j - i + 1)
    if ans == float('inf'):
        return []
    else:
        return ans

该算法的时间复杂度为 $O(n \log n)$，空间复杂度为 $O(n)$。

总结

本文介绍了两种常用的算法，用于寻找给定数组中的最小子数组，其总和大于或等于 K。暴力法的时间复杂度为 $O(n^2)$，而前缀和 + 二分查找的算法时间复杂度为 $O(n \log n)$。在实际应用中，我们可以根据输入数据规模和需求进行选择。