国际空间研究组织 | ISRO CS 2015 | 问题 49

这是一道关于阵列的编程题，要求实现一个函数，给定一个由0和1组成的01矩阵，返回该矩阵中是否存在全部由1构成的子矩阵。

函数签名

def check_all_ones(matrix):
    pass

输入

矩阵matrix，形如一个n X m的二维数组，其中0<=n, m<=1000。该矩阵由0和1组成。

输出

一个布尔值，表示是否存在全部由1组成的矩阵。

示例

# 输入
matrix = [
    [1, 0, 1],
    [0, 1, 1],
    [0, 0, 0]
]
# 输出
True

# 输入
matrix = [
    [1, 1, 1],
    [1, 1, 1],
    [0, 0, 0]
]
# 输出
False

思路

这是一道典型的动态规划问题。我们可以设dp[i][j]表示以(i,j)作为右下角的全部由1构成的子矩阵的最大尺寸，则有：

$$dp[i][j] = min{dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]} + 1$$

例如，对于给定的例子：

1 0 1
0 1 1
0 0 0

我们可以得到以下的dp数组：

1 0 1
0 1 1
0 0 0

1 0 1
0 1 2
0 0 0

1 0 1
0 1 2
0 0 0

可以看到，dp[1][2]的值为2，即以(1,2)为右下角的最大全为1的子矩阵的尺寸为2。

然后，我们可以再次遍历整个dp数组，判断其中是否有全为1的子矩阵即可。如果有，就返回True，否则返回False。

代码实现

def check_all_ones(matrix):
    n, m = len(matrix), len(matrix[0])
    dp = [[0 for _ in range(m)] for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if matrix[i][j] == 0:
                dp[i][j] = 0
            elif i == 0 or j == 0:
                dp[i][j] = 1
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]) + 1
    for i in range(n):
        for j in range(m):
            if dp[i][j] == 1:
                continue
            k = dp[i][j]
            while k > 1:
                if dp[i-k+1][j] >= k and dp[i][j-k+1] >= k:
                    return True
                k -= 1
    return False

以上就是本题的完整解答了。