求解四个数组的 XOR 等于给定值 x 的 Quadruples

在本文中，我们将介绍如何计算四个数组中的所有 Quadruples，使得它们的 XOR 等于给定值 x。我们将首先讨论问题的定义和基本思路，然后详细介绍解决问题的算法并给出代码实现。

问题定义

给定四个整数数组 A、B、C 和 D，以及一个整数 x，计算所有的四元组 (a, b, c, d) 使得 a ∈ A，b ∈ B，c ∈ C，d ∈ D 且 a ⊕ b ⊕ c ⊕ d = x。

基本思路

我们可以枚举四个数组中的每个元素，计算所有可能的四元组，并检查它们是否满足给定的 XOR 等于 x 的条件。然而，这种暴力算法的时间复杂度为 O(n^4)，其中 n 是每个数组的长度，因此它在实践中是不可行的。

幸运的是，有一种更高效的算法，它可以在 O(n^2) 的时间复杂度内解决这个问题。该算法的主要思想是使用哈希表来记录每个数组中的所有可能的 XOR 和它们出现的次数。然后，我们可以枚举两个数组 A 和 B 中的所有的 XOR 和，并使用哈希表找到 C 和 D 中所有可能的 XOR 和，这样就可以计算符合要求的四元组数量。

算法实现

以下是具体的算法步骤：

1. 对于每个数组（A、B、C 和 D），遍历所有可能的 XOR 和，并使用哈希表记录它们的出现次数。

   for (int i = 0; i < n; i++) {
       for (int j = 0; j < n; j++) {
           int xorAB = A[i] ^ B[j];
           hashAB[xorAB]++;
           int xorCD = C[i] ^ D[j];
           hashCD[xorCD]++;
       }
   }
   

2. 枚举数组 A 和 B 中的每个元素，计算它们的 XOR 和。

   for (int i = 0; i < n; i++) {
       for (int j = 0; j < n; j++) {
           int xorAB = A[i] ^ B[j];
           // ...
       }
   }
   

3. 对于每个 XOR 和 xorAB，检查是否存在一个 XOR 和 xorCD，使得 xorAB ⊕ xorCD = x，并累加找到的符合条件的四元组数量。

   int count = 0;
   for (int i = 0; i < n; i++) {
       for (int j = 0; j < n; j++) {
           int xorAB = A[i] ^ B[j];
           int target = x ^ xorAB;
           if (hashCD.count(target)) {
               count += hashCD[target];
           }
       }
   }
   

完整代码如下所示：

#include <unordered_map>
#include <vector>
using namespace std;

int countQuadruples(vector<int>& A, vector<int>& B, vector<int>& C, vector<int>& D, int x) {
    int n = A.size();
    unordered_map<int, int> hashAB, hashCD;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            int xorAB = A[i] ^ B[j];
            hashAB[xorAB]++;
            int xorCD = C[i] ^ D[j];
            hashCD[xorCD]++;
        }
    }
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            int xorAB = A[i] ^ B[j];
            int target = x ^ xorAB;
            if (hashCD.count(target)) {
                count += hashCD[target];
            }
        }
    }
    return count;
}

总结

本文介绍了如何计算四个数组中的所有 Quadruples，使得它们的 XOR 等于给定值 x。我们使用哈希表记录每个数组中的所有可能的 XOR 和，并使用嵌套循环枚举两个数组中的元素，然后通过哈希表查找另外两个数组中符合条件的 XOR 和。这个算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是数组的长度。