两个二进制数组中的最小翻转，使得它们的 XOR 等于另一个数组

问题描述

给定两个长度相等、只包含 0 和 1 的二进制数组 A 和 B，以及另一个长度为 n 的二进制数组 C，要求通过对 A 或 B 中的元素进行翻转操作，使得 A xor B = C。其中 xor 表示异或操作。

求最小的翻转次数，使得上述条件得到满足。若无法通过翻转操作满足条件，则返回 -1。

解决方案

思路

首先，判断 A xor B 是否等于 C。若相等，返回翻转次数为 0。

然后，我们需要确定需要翻转哪些位置。假设 A 和 B 在某个位置 i 处不同，也即 A[i] != B[i]。那么，为了满足 A xor B = C，我们需要满足以下两个条件之一：

• C[i] 与 A[i] 相等，同时 C[i] 与 B[i] 不相等；
• C[i] 与 A[i] 不相等，同时 C[i] 与 B[i] 相等。

因此，我们需要遍历数组，对于每一位，统计 A 和 B 在该位上不同的数量，并判断其与 C 的关系；接着，对于符合条件的位置，选择翻转其中的一个，即可满足要求。这里需要注意，如果存在一个位置即使翻转了也无法满足条件，则说明无法通过翻转来解决问题。

代码实现

以下为 Python 代码实现，时间复杂度为 $O(n)$。

def min_flips(A: List[int], B: List[int], C: List[int]) -> int:
    n = len(A)
    flips = 0

    for i in range(n):
        if A[i] ^ B[i] == C[i]:  # 已满足条件，跳过
            continue

        if C[i] == A[i] == B[i]:  # 无法满足条件
            return -1

        if C[i] == A[i]:  # 只需要翻转 B
            B[i] = 1 - B[i]

        else:  # 只需要翻转 A
            A[i] = 1 - A[i]

        flips += 1

    return flips

总结

本文介绍了一个求解两个二进制数组中的最小翻转次数的算法。该算法通过遍历数组，对于每一位判断是否需要翻转，从而寻找最优解。

需要注意的是，如果存在一个位置即使翻转了也无法满足条件，则说明无法通过翻转来解决问题，需要返回 -1。