找到在给定约束下完成所有作业的最短时间

在实际生活和工作中，我们常常需要解决一些优化问题，例如如何在给定的时间内完成尽可能多的任务，或者如何在满足各种约束条件的前提下，使得某个目标函数最小或最大等等。这里我们以"找到在给定约束下完成所有作业的最短时间"作为主题，简单介绍一下如何使用线性规划来求解这一问题。

问题描述

假设我们有n项作业需要完成，每项作业需要一定的时间和资源，各个作业之间存在一些依赖关系。我们的目标是在满足各种约束条件的前提下，最小化完成所有作业所需的总时间。具体来说，我们需要：

• 找到对应每个任务的开始时间和结束时间。
• 满足作业之间的依赖关系，即一个作业只能在其前置作业完成后才能开始。
• 确保每个作业在其可用的资源范围内进行。
• 最小化所有作业所需的总时间。

约束条件

我们可以把问题建模成一个线性规划问题，以时间为自变量，各项作业的开始时间、结束时间以及资源等约束条件为限制条件，目标函数为总时间。具体的，我们引入以下变量：

• $t_i$: 第i个作业的开始时间，$1\leq i\leq n$.
• $x_{i,j}$: 第i个作业是否在第j个时间单位内进行。如果是，取值为1，否则为0，$1\leq i,j\leq n$.
• $C$: 所有任务的最短完成时间。

对于每一个作业i，我们可以列出一系列的约束条件：

• $t_i\geq 0$: 作业开始时间必须非负。
• $t_i+w_i\cdot x_{i,j}\leq t_j$: 如果$x_{i,j}=1$，则作业i必须在作业j开始之前完成。
• $\sum_{i=1}^n w_i\cdot x_{i,j}\leq r_j$: 第j个时间单位不能同时进行的任务总资源量不能超过$r_j$.
• $t_i+w_i\leq C$: 作业i必须在时间单位C之内完成。

综上，我们可以将问题描述成如下形式：

$$ \begin{aligned} \text{minimize:} \quad &C \ \text{subject to:} \quad & t_i\geq0,\quad 1\leq i\leq n\ & t_i+w_i\cdot x_{i,j}\leq t_j,\quad 1\leq i,j\leq n \ & \sum_{i=1}^n w_i\cdot x_{i,j}\leq r_j,\quad 1\leq j\leq C \ & t_i+w_i\leq C,\quad 1\leq i\leq n \ & x_{i,j}\in{0,1},\quad 1\leq i,j\leq n \end{aligned} $$

解决方法

该线性规划问题可以使用标准的线性规划求解器来求解。如果使用Python实现，可以使用PuLP库，该库提供了一组简单易用的API来定义线性规划问题，并调用优化求解器求解。具体的，我们可以定义如下的程序：

from pulp import *
import numpy as np

# 定义任务数n，时间数C，任务时间w，任务资源r，任务的前置任务p
n = 6
C = 50
w = np.array([10, 3, 1, 7, 8, 4])
r = np.array([2, 4, 4, 4, 4, 4])
p = [[], [], [], [1], [3], [2, 4]]

# 定义x[i, j], t[i]
x = np.array([[LpVariable("x%d_%d" % (i, j), 0, 1, LpInteger) for j in range(C)] for i in range(n)])
t = np.array([LpVariable("t%d" % i, 0, None, LpInteger) for i in range(n)])

# 接下来定义我们的线性规划问题
prob = LpProblem("Project scheduling problem", LpMinimize)

# 定义目标函数
prob += lpSum(t)

# 定义约束条件
for i in range(n):
    for j in range(C):
        prob += t[i] - j * x[i, j] >= 0
        if j > 0:
            prob += t[i] - j * x[i, j] >= t[i] - (j - 1) * x[i, j - 1] - w[i]
    for k in p[i]:
        for j in range(C):
            prob += x[i, j] <= x[k, j]
    for j in range(C):
        prob += lpSum(w[k] * x[k, j] for k in range(n)) <= r[j]
        prob += t[i] + w[i] <= C

# 利用PuLP库求解线性规划
prob.solve()

# 输出结果
print("Total time:", value(prob.objective))
for i in range(n):
    for j in range(C):
        if value(x[i, j]) == 1:
            print("Job", i, "starts at", j, "and ends at", j + w[i])
            break

总结

本文通过一个具体实例介绍了如何使用线性规划解决工程排程问题，该方法可以应用于生产线安排、资源调度等领域。当然，在实际问题中，我们可能需要考虑更加复杂的限制条件，例如作业具有不同的优先级、处理时间与资源之间存在非线性关系等等。此时，我们可能需要使用更加高级的规划算法，例如动态规划、整数规划等等。