单变量优化与多变量优化

在计算机科学中，优化是指通过改进算法、数据结构、程序设计等手段，提高程序效率、降低资源消耗的过程。单变量优化与多变量优化是其中两个重要的分支。

单变量优化

单变量优化是指只涉及到一个变量的优化。在程序设计中，单变量优化的典型应用是寻找函数的极值。常见的单变量优化算法包括二分法、牛顿法、梯度下降法等。

二分法

二分法是一种简单但有效的单变量优化算法。二分法的基本思想是将区间不断缩小，直到找到最优解。在每一次迭代中，二分法选取区间中点作为候选解，然后根据目标函数的取值情况调整区间端点的位置。具体算法如下：

function binarySearch(f, a, b, eps):
    while b-a > eps:
        c = (a+b)/2
        if f(c) > 0:
            b = c
        else:
            a = c
    return (a+b)/2

其中，f是目标函数，a和b是一开始的区间端点，eps是精度。二分法的时间复杂度为O(log(n))，其中n是区间大小。

牛顿法

牛顿法是一种常见的单变量优化算法，它通过不断迭代，逼近目标函数的极值点。牛顿法的基本思想是在当前位置处的切线方程上，找到切线与横轴的交点，并以该点作为下一次迭代的起点。具体算法如下：

function newtonMethod(f, df, x0, eps):
    delta = f(x0) / df(x0)
    while abs(delta) > eps:
        x0 -= delta
        delta = f(x0) / df(x0)
    return x0

其中，f是目标函数，df是目标函数的导数，x0是一开始的起点，eps是精度。牛顿法的时间复杂度为O(log(n))，其中n是迭代次数。

梯度下降法

梯度下降法是一种常见的单变量优化算法，它从当前位置出发，按负梯度方向进行迭代，直到达到最优解。具体算法如下：

function gradientDescent(f, df, x0, eps, alpha):
    delta = f(x0) / df(x0)
    while abs(delta) > eps:
        x0 -= alpha * df(x0)
        delta = f(x0) / df(x0)
    return x0

其中，f是目标函数，df是目标函数的导数，x0是一开始的起点，eps是精度，alpha是迭代步长。梯度下降法的时间复杂度为O(log(n))，其中n是迭代次数。

多变量优化

多变量优化是指涉及到多个变量的优化。在程序设计中，多变量优化的典型应用是寻找多元函数的极值。常见的多变量优化算法包括梯度下降法、拟牛顿法、共轭梯度法等。

梯度下降法

梯度下降法不仅可以用于单变量优化，也可以应用于多变量优化。在多变量情况下，梯度下降法的基本思想是在当前位置处，沿着最陡峭的方向进行迭代，直到达到最优解。具体算法如下：

function gradientDescentWithMultipleVariables(f, df, x0, eps, alpha):
    delta = f(x0) / df(x0)
    while abs(delta) > eps:
        x0 -= alpha * df(x0)
        delta = f(x0) / df(x0)
    return x0

其中，f是目标函数，df是目标函数的梯度，x0是一开始的起点，eps是精度，alpha是迭代步长。梯度下降法的时间复杂度为O(log(n))，其中n是迭代次数。

拟牛顿法

拟牛顿法是一种常见的多变量优化算法，它通过不断逼近目标函数的Hessian矩阵，快速找到极值。拟牛顿法的基本思想是通过一系列点的函数值和梯度值，逼近目标函数的Hessian矩阵。具体算法如下：

function quasiNewtonMethod(f, df, x0, eps):
    B = eye(df(x0).size)
    delta = df(x0)
    while abs(delta) > eps:
        B = B - (B.dot(delta).reshape(-1,1) * B.dot(delta).reshape(1,-1)) / (delta.dot(B).dot(delta))
        x0 -= B.dot(delta)
        delta = df(x0)
    return x0

其中，f是目标函数，df是目标函数的梯度，x0是一开始的起点，eps是精度。拟牛顿法的时间复杂度为O(log(n))，其中n是迭代次数。

共轭梯度法

共轭梯度法是一种高效的多变量优化算法，特别适用于求解大规模线性方程组或二次型函数的极值。共轭梯度法的基本思想是通过构造一组共轭的搜索方向，快速找到目标函数的极值。具体算法如下：

function conjugateGradientMethod(A, b, x0, eps):
    r0 = b - A.dot(x0)
    p0 = r0
    alpha = r0.dot(r0) / p0.dot(A.dot(p0))
    x1 = x0 + alpha * p0
    r1 = r0 - alpha * A.dot(p0)
    while abs(np.linalg.norm(r1)) > eps:
        beta = r1.dot(r1) / r0.dot(r0)
        p1 = r1 + beta * p0
        alpha = r1.dot(r1) / p1.dot(A.dot(p1))
        x0 = x1
        x1 = x0 + alpha * p1
        r0 = r1
        r1 = r0 - alpha * A.dot(p1)
        p0 = p1
    return x1

其中，A是一个正定对称矩阵，b是一个向量，x0是一开始的起点，eps是精度。共轭梯度法的时间复杂度为O(n^2)，其中n是矩阵的维度。