生成一个整数的所有唯一分区

简介

在计算机科学中，整数拆分（integer partition）是将正整数拆成一系列正整数的和，且拆分出来的整数顺序不影响结果，每个拆分方案即为一个分区。

在本文中，我们将介绍如何生成一个整数的所有唯一分区。我们将提供两套不同的代码实现。

方案一

第一套方案使用递归的方式生成所有分区，它将使用Python编程语言编写。

def gen_partitions(n, m=None):
    """
    :param n: integer to partition
    :param m: maximum partition value
    :return: yields partitions of n
    """
    m = min(m, n - 1) if m else n - 1
    if m <= 0:
        yield [n]
        return
    for p in gen_partitions(n - m, m):
        yield [m] + p
    for p in gen_partitions(n, m - 1):
        yield p

在这个实现中，gen_partitions函数的参数n是待分区的整数，m是最大的分区值，即每个划分中的最大整数。如果m没有提供，则默认为n-1。该函数使用递归算法生成所有可能的分区。

方案二

第二套方案使用动态规划生成所有分区，它将采用Java编程语言编写。

import java.util.*;

public class PartitionGenerator {
    public static List<List<Integer>> generate(int n) {
        List<List<List<Integer>>> dp = new ArrayList<>();
        dp.add(Collections.singletonList(Collections.emptyList()));
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            List<List<Integer>> iPartitions = new ArrayList<>();
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
                for (List<Integer> p : dp.get(i - j)) {
                    if (p.isEmpty() || p.get(0) <= j) {
                        List<Integer> partition = new ArrayList<>();
                        partition.add(j);
                        partition.addAll(p);
                        iPartitions.add(partition);
                    }
                }
            }
            dp.add(iPartitions);
        }
        return dp.get(n);
    }
}

在这个实现中，generate函数使用动态规划生成所有可能的分区。它使用一个三级List作为存储。

该算法可被用于一般化的正整数拆分问题。因此，作为这篇文章的扩展，我们将介绍如何生成不同拆分数的拆分的数量，即将生成的所有分区的数目，称为一系列分数的总数（基本分数）。

public class PartitionCountGenerator {
    public static int generate(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = i; j <= n; j++) {
                dp[j] += dp[j - i];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

通过将动态规划算法的计数部分隔离出来，我们可以用PartitionCountGenerator来计算一组分数的总数。

结论

在本文中，我们介绍了两种不同的算法来生成一个整数的所有唯一分区。第一种是递归算法，使用Python编写。第二种是动态规划算法，使用Java编写。在这两个实现中，每个拆分方案都是一组唯一的整数，并且每个拆分方案在输出中只出现一次。

在我们的扩展中，我们介绍了如何计算一系列分数的总数，即生成的所有分区的数目。这个算法同样使用了动态规划。

以上就是本文的全部内容，希望大家能够从中受益。