不能形成任何对的元素总数为2的幂的元素的计数

这里介绍一种计算不能形成任何对的元素总数为2的幂的元素的计数的方法，假设给定一个长度为N的非空整数数组arr[]。

算法思路

首先，一对元素(a[i], a[j])可以形成2的幂的总数，当且仅当a[i] ^ a[j]为2的幂。

假设所有的元素都可以形成若干个这样的对。我们把这些元素分成两类：

• 类别A：a[i]为2的幂，a[j]为非2的幂。

• 类别B：a[i]为非2的幂，a[j]为2的幂。

对于类别A，如果除去a[i]后剩下的元素个数为M，而M又都为2的幂，那么a[i]也不能形成任何对。因为无论如何组合，都只能得到(a[i], a[i]), (a[i], a[k])这两种情况（k为除去a[i]后的剩余元素），不能构成2的幂数量。

同样的，对于类别B，如果除去a[j]后剩下的元素个数为M，而M又都为2的幂，那么a[j]也不能形成任何对。

考虑到一个元素只有可能被算一次，我们可以用哈希表来记录每个元素的出现次数，这样只需要遍历数组两次，就可以得到所有的不能形成任何对的元素的总数。

代码实现

下面是Python实现的代码，其中get_pow2_count()函数返回不能形成任何对的元素总数，count_pow2_pairs()函数返回所有能够形成2的幂数量的元素对。

from collections import defaultdict

def count_pow2_pairs(arr):
    n = len(arr)
    count = 0
    cnts = defaultdict(int)
    for i in range(n):
        cnts[arr[i]] += 1
    for i in range(n - 1):
        for j in range(i + 1, n):
            if (arr[i] ^ arr[j]) & (arr[i] ^ arr[j] - 1) == 0:
                count += 1
    return count

def get_pow2_count(arr):
    cnts = defaultdict(int)
    pow2s = set([2 ** i for i in range(31)])
    for a in arr:
        cnts[a] += 1
    for a in arr:
        if cnts[a] > 1:
            continue
        if a in pow2s:
            continue
        if (a & a - 1) == 0 and cnts.get(0, 0) < 2:
            continue
        if (a & a - 1) != 0 and cnts.get(a ^ a - 1, 0) > 0:
            continue
        return 1
    return 0

总结

以上算法的时间复杂度为$O(n^2)$。对于较大的数组会有性能问题，但对于现代计算机和一般的数组长度，可以接受。