题目介绍

给定一个长度为 $n$ 的数组 $a_1,a_2,\cdots,a_n$，求最小的 $x$（$0 \leq x < 2^{30}$），使得存在两个下标 $i,j$ 满足 $1 \leq i < j \leq n$ 且 $(a_i \operatorname{or} a_j) \operatorname{xor} x$ 最小，其中 $\operatorname{and}$ 表示按位与，$\operatorname{or}$ 表示按位或，$\operatorname{xor}$ 表示按位异或。

算法思路

暴力做法是枚举所有 $i,j$ 的组合，然后计算他们的 $\operatorname{or}$ 和 $\operatorname{xor}$，最后取最小值。这种做法有 $O(n^2)$ 个组合，因此时间复杂度为 $O(n^2)$。

更加优秀的做法是线性扫描。我们从最高位（第 $30$ 位）开始，枚举当前位为 $0$ 或 $1$ 时，对于数组中的每一个数，看它在这一位上是否为 $0$ 或 $1$。将所有当前位为 $1$ 的数存入一个集合 $S_1$ 中，将所有当前位为 $0$ 的数存入一个集合 $S_0$ 中。如果 $S_0$ 和 $S_1$ 都非空，那么当前位为 $1$，否则当前位为 $0$。如果当前位为 $1$，那么最小的 $x$ 中这一位为 $1$，否则最小的 $x$ 中这一位为 $0$。在做完所有 $30$ 位后，我们得到了最小的 $x$。

时间复杂度为 $O(n\log n)$。

代码实现

def solve(n: int, a: List[int]) -> int:
    ans = 0
    for k in range(30, -1, -1):
        s0, s1 = set(), set()
        for i in range(n):
            if (a[i] >> k) & 1:
                s1.add(a[i])
            else:
                s0.add(a[i])
        if s0 and s1:
            ans |= 1 << k
    return ans

参考资料

• 题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/CF429C
• 代码实现：https://www.luogu.com.cn/code/42630550