数组中具有相同AND，OR和XOR值的子集数

在一个给定的数组中，我们可以取出若干个元素组成一个子集。现在需要计算在这个数组中有多少个子集，使得这个子集中所有元素的 AND、OR 和 XOR 值相等。本文将讨论如何解决这个问题。

解法

我们可以暴力枚举每个子集，并判断其 AND、OR 和 XOR 值是否相等。但显然这个方法的时间复杂度为 $O(2^n)$，难以承受。

我们可以利用一些性质，优化以上暴力枚举的时间复杂度。

1. 如果一个子集中的元素个数为偶数个，那么该子集中所有元素的 XOR 值为 $0$。
2. 如果一个子集中的元素个数为奇数个，那么该子集中所有元素的 XOR 值为这个子集中所有元素的 XOR 值。
3. 如果一个子集中所有元素的 OR 值为 $0$，那么该子集中所有元素的 AND 值也为 $0$，反之亦然。
4. 如果一个子集中所有元素的 AND 值为 $1$，那么该子集中所有元素的 OR 值也为 $1$，反之亦然。

我们可以进一步发现，如果一个子集中所有元素的 AND、OR 和 XOR 值相等，那么该子集的长度一定是 $3$ 的倍数。

因此我们可以对数组中所有元素的 AND、OR 和 XOR 值进行分类计数。设这些值分别为 $a_1,a_2,\cdots,a_n$。如果 $a_i=0$，那么它就只能在长度为 $3$ 的子集中出现，此时长度为 $3$ 的子集的数量为 ${n-1\choose 2}$。如果 $a_i=1$，那么它就只能在长度为 $1$ 或 $2$ 或 $3$ 的子集中出现，此时长度为 $1$ 或 $2$ 或 $3$ 的子集的数量都可以直接计算出来。对于其他 $a_i$，我们可以通过计算二项式系数 $(cnt_i,3k-cnt_i)$ 来计算长度为 $3k$ 的子集的数量，其中 $cnt_i$ 表示 $a_i$ 出现的次数。

最后，我们对长度为 $3$、$6$、$\cdots$ 的子集的数量进行累加，就是整个问题的答案。

代码实现

from collections import defaultdict
from math import comb

def solve(nums):
    n = len(nums)
    counter = defaultdict(int)
    for i in range(1 << n):
        and_val, or_val, xor_val = 0, 0, 0
        for j in range(n):
            if i & (1 << j):
                and_val &= nums[j]
                or_val |= nums[j]
                xor_val ^= nums[j]
        counter[(and_val, or_val, xor_val)] += 1
    ans = 0
    for cnt in counter.values():
        ans += comb(cnt, 3)
        ans += 2 * comb(cnt, 2)
        ans += comb(cnt, 1)
    return ans

参考文献

• 数组中具有相同AND，OR和XOR值的子集数 (洛谷博客)