数组中具有相同 AND、OR 和 XOR 值的子集数

在计算机科学中，有一类问题叫做“集合问题”(集合问题指的是针对给定的集合，需要求解其中某些元素构成的集合)，其中一个经典问题是：在一个给定的数组中，有多少子集具有相同的 AND、OR 和 XOR 值。

下面我们将分别介绍如何计算具有相同 AND、OR 和 XOR 值的子集数量。

计算具有相同 AND 值的子集数量

如果要计算具有相同 AND 值的子集数量，我们需要先找到数组中所有元素按位与的结果。

例如，假设有一个数组 [1, 2, 3, 4]，我们可以将它们按位与，得到如下结果：

1 & 2 & 3 & 4 = 0

这意味着在这个数组中，除了空子集以外，所有子集都具有相同的 AND 值，因此具有相同 AND 值的子集数量为 2^(N-1)，其中 N 是数组的长度。

代码实现如下：

def count_subsets_with_same_and_value(arr):
    and_value = arr[0]
    for i in range(1, len(arr)):
        and_value &= arr[i]
    return 1 << (len(arr) - 1)

计算具有相同 OR 值的子集数量

如果要计算具有相同 OR 值的子集数量，我们需要先找到数组中所有元素按位或的结果。

例如，假设有一个数组 [1, 2, 3, 4]，我们可以将它们按位或，得到如下结果：

1 | 2 | 3 | 4 = 7

这意味着在这个数组中，只要一个子集包含了其中的任意元素，它们的 OR 值就是 7。因此具有相同 OR 值的子集数量为 2^(N-1)，其中 N 是数组的长度。

代码实现如下：

def count_subsets_with_same_or_value(arr):
    or_value = arr[0]
    for i in range(1, len(arr)):
        or_value |= arr[i]
    return 1 << (len(arr) - 1)

计算具有相同 XOR 值的子集数量

如果要计算具有相同 XOR 值的子集数量，我们需要先找到数组中所有元素按位异或的结果。

例如，假设有一个数组 [1, 2, 3, 4]，我们可以将它们按位异或，得到如下结果：

1 ^ 2 ^ 3 ^ 4 = 4

这意味着在这个数组中，只要一个子集包含了其中的奇数个元素，它们的 XOR 值就是 4。因此具有相同 XOR 值的子集数量取决于数组中 1 的个数，具体公式为 2^(count_of_ones_in_bits)，其中 count_of_ones_in_bits 表示所有元素按位与的结果中 1 的个数。

代码实现如下：

def count_subsets_with_same_xor_value(arr):
    xor_value = arr[0]
    for i in range(1, len(arr)):
        xor_value ^= arr[i]
    count_of_ones_in_bits = bin(xor_value).count('1')
    return 1 << count_of_ones_in_bits

总结

以上就是计算数组中具有相同 AND、OR 和 XOR 值的子集数量的方法。需要注意的是，在计算具有相同 XOR 值的子集数量时，需要先计算数组中所有元素按位异或的结果，然后再统计其中 1 的个数。另外，以上三种计算方式都是 O(N) 的时间复杂度，其中 N 表示数组的长度。

参考文献：

• Count number of subsets having a particular XOR value