Haskell 半群定义

半群是一种数学结构，它定义了一个二元操作和一组满足特定性质的元素。在 Haskell 中，我们可以用一个类型类来定义半群。

使用 Data.Semigroup 模块，我们可以定义一个 Semigroup 类型类，定义了一个二元操作 <> 。这个操作必须满足以下两个性质：

1. 结合律：x <> (y <> z) = (x <> y) <> z
2. 封闭性：对于任何 x, y ∈ S，x <> y ∈ S

其中，S 是具有半群结构的非空集合。

以下是一个例子：

import Data.Semigroup

instance Semigroup Integer where
  (<>) = (+)

x :: Integer
x = 3

y :: Integer
y = 4

z :: Integer
z = 5

result :: Integer
result = x <> (y <> z) -- 结果为 12，满足结合律

此处定义了一个 Integer 的实例，使用 + 二元操作作为半群的取值。我们将 x、y 和 z 分别赋值为 3、4 和 5。然后我们计算出 result，确保它满足结合律。

Semigroup 允许我们在不同数据类型之间创建半群。以下是 list 的一个示例：

import Data.Semigroup

instance Semigroup [a] where
  (<>) = (++)

x :: [Int]
x = [1, 2, 3]

y :: [Int]
y = [4, 5, 6]

z :: [Int]
z = [7, 8, 9]

result :: [Int]
result = x <> (y <> z) -- 结果为 [1,2,3,4,5,6,7,8,9]

在这里，我们定义了一个 list 的实例，并使用 ++ 作为二元操作。result 将包含所有三个 list 中的元素，并在编写时保证了结合律。

半群为我们提供了一个强大的数学工具，使我们能够将数据类型之间的任意集合作为单个类型进行思考。Haskell 的半群定义为开发者提供了更多的工具，以支持更强大的编程范式。