Sudo GATE 2020 Mock II（2019 年 1 月 10 日）- 问题 4

简介

该问题是一道使用基于深度优先搜索算法（DFS）寻找从一个起点到一个目标点的最短路径问题。题目要求我们遵循一定的规则来寻找最短路径，并输出其长度。

问题描述

给定一个二维矩阵表示一个游戏地图，其中标有门和空格。门用数字1表示。要求从指定的起点（标记为S）出发，找到一个最短的路径到达另一个指定的点（标记为D）。在这个游戏中，你可以做出以下操作：

1. 沿着每个空格向上下左右四个方向中的一个移动；

2. 如果你当前处于一个数字1上，你可以跳进另外一个数字1上的位置。

输入说明

输入中的第一行包含两个整数 r 和 c，表示游戏地图的行数和列数。接下来的 r 行描述整个地图，使用“S”表示起点，“D”表示终点，“1”表示门，“.”表示空格。 矩阵中恰好存在一个起点和一个终点。

输出说明

输出一个整数值，表示从起点到达目标点的最短路径长度。 如果不存在这样的路径，则输出无穷大。

思路和解法

这道题要求我们找到从起点到目标点的最短路径。首先我们应该想到用 BFS 对这个矩阵进行遍历，记录每个位置到起点的距离。但是在这道题中，我们有两种移动方式：普通的四个方向的移动和跳跃到数字1的位置。很明显，这使得我们不能轻易地使用 BFS 遍历找到最短路径。

因此，我们使用 DFS 去寻找从起点到目标点的路径，同时记录路径长度。

具体实现方法：

• 使用 DFS 去寻找从起点到目标点的路径，并计算路径长度。遇到数字1时，同样的搜索过程递归下去即可。

• 使用一个矩阵来记录从起点到每个点的距离。

• 到达一个新的点时，检查这个新的点到起点的距离是否比之前的更短。如果更短，则更新距离和路径。

• 递归回溯时，需要恢复原来的距离和路径。

代码实现

下面是 Python 代码实现的一个例子：

def dfs(r, c, matrix, visited, dist, source, target, path_len):
    
    # 如果越界、已经访问过、比原来的距离长，就返回
    if r < 0 or r >= len(matrix) or c < 0 or c >= len(matrix[0]) or \
    visited[r][c] or dist[r][c] <= path_len:
        return
    
    # 递归边界：到达目标点时
    if matrix[r][c] == target:
        dist[r][c] = path_len
        return
    
    visited[r][c] = True
    dist[r][c] = path_len
    path_len += 1
    
    # 向上、下、左、右四个方向移动
    dfs(r-1, c, matrix, visited, dist, source, target, path_len)
    dfs(r+1, c, matrix, visited, dist, source, target, path_len)
    dfs(r, c-1, matrix, visited, dist, source, target, path_len)
    dfs(r, c+1, matrix, visited, dist, source, target, path_len)
    
    # 遇到数字1时，跳到另一个数字1的位置
    if matrix[r][c] == 1:
        r1, c1 = get_next_door(r, c, matrix)
        dfs(r1, c1, matrix, visited, dist, source, target, path_len)
        
    # 回溯时恢复原来的距离和路径
    visited[r][c] = False
    path_len -= 1
    
def get_next_door(r, c, matrix):
    # 找到下一个门的位置
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(len(matrix[0])):
            if matrix[i][j] == 1 and (i != r or j != c):
                return i, j
    
    return -1, -1

def get_shortest_path(matrix):
    rows, cols = len(matrix), len(matrix[0])
    source = 'S'
    target = 'D'
    
    # 初始化 visited 和 dist 数组
    visited = [[False] * cols for _ in range(rows)]
    dist = [[float('inf')] * cols for _ in range(rows)]
    
    # 找到起点和目标点的位置
    for i in range(rows):
        for j in range(cols):
            if matrix[i][j] == source:
                source_pos = (i, j)
            elif matrix[i][j] == target:
                target_pos = (i, j)
    
    # 调用 DFS 寻找最短路径
    dfs(source_pos[0], source_pos[1], matrix, visited, dist, source, target, 0)
    
    return dist[target_pos[0]][target_pos[1]]

在这个实现中，我们首先找到起点和目标点的位置，然后使用 DFS 去寻找从起点到达目标点的路径。在 DFS 递归时，我们需要记录从起点到当前位置的距离和路径。当遇到数字1时，我们跳到另一个数字1的位置继续搜索。

最后，我们输出从起点到目标点的最短路径长度。

总结

这道问题需要我们了解 DFS 和 BFS 算法，以及如何处理具有特殊移动规则的路径问题。使用 DFS 寻找从一个起点到目标点的路径可以通过递归去实现。我们需要记录路径的长度，并使用一个矩阵去记录从起点到每个位置的距离。在递归中搜索时，需要处理距离和路径的更新、回溯时的恢复等。