最小化需要删除的 0 数以最大化 1 的最长子串的长度

问题描述

给定一个仅包含 0 和 1 的字符串 s，你可以从 s 中删除任意数目的 0，来使得 s 中连续出现的 1 的最长子串的长度最大化。

解决方法

动态规划。

首先需要找到问题的子结构，也就是以 s 中某个位置结尾的最长连续 1 子串的长度。

设 f[i] 为以 s[i] 结尾的最长连续 1 子串的长度（注意，这个子串必须以 s[i] 结尾），那么 f[i] 可以通过下面两种情况转移得到：

1. 如果 s[i] 是 0，则 f[i] = 0，因为以 0 结尾的子串不存在；
2. 如果 s[i] 是 1，则 f[i] 可以通过 f[i-1] 和 i 位置之前的连续 0 的数量转移得到，即 f[i] = f[i-1] + 1 + count_0，其中 count_0 是 i 位置之前的连续 0 的数量。

然后，问题就转变为了如何计算 count_0 的问题，可以通过一个变量 tmp 来完成计算。

设 g[i] 为最小化需要删除的 0 数以最大化以 s[i] 结尾的最长连续 1 子串的长度，那么 g[i] 可以通过下面两种情况转移得到：

1. 如果 s[i] 是 0，则 g[i] = g[i-1] + 1，即需要删除一个 0；
2. 如果 s[i] 是 1，则 g[i] 可以通过 f[i] 和 tmp 转移得到，即 g[i] = f[i] + tmp。

具体来说，当 s[i] 是 0 时，只需要将 tmp 置为 0 即可，因为 i 位置之前的连续 0 的数量需要从头开始计数；当 s[i] 是 1 时，需要将 tmp 加上 i 位置之前的连续 0 的数量，即 tmp += count_0。

因为最优解是以 s 中某个位置结尾的最长连续 1 子串，因此 g[i] 的最大值即为所求。

最终代码如下（Python）：

class Solution:
    def findMaxConsecutiveOnes(self, nums: List[int]) -> int:
        n = len(nums)
        f = [0] * n
        g = [0] * n
        res = 0
        for i in range(n):
            if nums[i] == 0:
                f[i] = 0
            else:
                f[i] = f[i-1] + 1
            if nums[i] == 1:
                if i == 0 or nums[i-1] == 0:
                    tmp = 0
                g[i] = f[i] + tmp
                tmp += 1
            res = max(res, g[i])
        return res

性能分析

时间复杂度：O(n)

空间复杂度：O(n)