计数至少大小为 3 的子阵列，形成几何级数 (GP)

介绍

给定一个整数数组，求其中长度不小于 3 的子数组中等比数列的数量。

例如，数组 [1, 2, 3, 4] 中，长度为 3 的等比数列有 1, 2, 4 和 2, 3, 4，总数量为 2。

这是一个经典的算法问题，也是 ACM ICPC 竞赛中经常出现的一类问题。

解法

我们可以考虑枚举每一个等比数列的公比 r，然后计算对应的等比数列在原数组中的数量。

对于一个等比数列来说，我们可以先找到首项和末项，然后根据公比求得中间的所有项。如果这个等比数列中的每一个元素都在原数组中出现过，那么这个等比数列就是合法的。

这个算法的时间复杂度为 $O(n^2 \log M)$，其中 $n$ 是数组长度，$M$ 是数组中的最大值。这个复杂度是比较高的，能够通过本题的数据范围，但是对于更大的数据可能会超时。

代码

下面是使用 Python 语言实现上述算法的代码片段：

def count_gp_subarrays(arr: List[int]) -> int:
    n = len(arr)
    ans = 0
    for r in range(n):
        for i in range(n):
            j = i + r
            if j >= n: break
            prod = arr[j]
            k = j - 1
            while k >= i and prod // arr[k] == prod / arr[k]:
                prod = arr[k] * prod // arr[k]
                k -= 1
            if j - k >= 2:
                ans += 1
    return ans

注意到此代码实现了函数 count_gp_subarrays，输入为一个整数数组，输出为符合条件的等比数列数量。

这个函数的实现基本遵循了上述解法的思路，具体细节可以读者自行分析。在实现细节中，我们需要使用整除操作 // 并且要注意判断两个整数是否相等。

总结

本文介绍了如何计算一个整数数组中长度不小于 3 的等比数列数量，提供了一个算法的实现，并说明了该算法的时间复杂度和一些细节问题。

希望这篇文章对正在学习算法竞赛的程序员有所帮助。