📅 最后修改于: 2023-12-03 14:54:36.470000 🧑 作者: Mango
给定一个正整数 N,在数字 1 到 N 中任选若干个数,将它们的二进制表示拼接起来,得到一个新数字。求最大的新数字。例如,当 N=2 时,能够拼接出的数字有 1、2、3,它们的二进制表示分别为 1, 10, 11,拼接起来得到的新数字为 110=6,因此最大的新数字为 6。
根据题目的描述,我们可以发现,对于一组数字,它们的二进制表示的长度是相同的。因此,我们可以先求出数字的二进制表示的长度,然后按照数字的二进制表示从高到低进行排序,接着将排好序的数字按照它们的二进制形式拼接,就可以得到最大的新数字了。
具体来说,我们可以将每个数字的二进制表示看作是一个字符串,然后找到这些字符串中最长的那个,将它的长度记为 L。接着,对于每个数字,我们可以将它的二进制表示用字符串表示,并在前面补 0,让它的长度也变为 L,这样就可以使得每个二进制字符串的长度相同。
接下来,我们按照每个数字的二进制表示从高到低进行排序,并将排序好的数字按照它们的二进制形式拼接起来,就可以得到最大的新数字了。
下面给出 Python 语言的实现代码:
以上算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$,其中 $n$ 是数字的个数。主要开销在于排序操作,即将数字的二进制表示按照从高到低的顺序排序。
对于空间复杂度,我们需要开 O(NlogN) 的空间来存储所有数字的二进制表示,并且需要 O(logN),以及排序所需要的空间。因此,总的空间复杂度为 O(NlogN)。
为了验证以上算法的正确性,我们可以使用 Python 的 unittest 模块编写下面的测试代码:
其中,我们测试了 N=2、3、4、5 四种不同情况下求得的最大数字。运行测试代码后,得到输出:
说明所有测试用例都通过了。