最大化没有公共字符的字符串长度的乘积

在一组字符串中，最大化没有公共字符的字符串长度的乘积是一种常见的问题。本文将介绍如何通过动态规划的方法解决这个问题。

问题描述

给定一组字符串 $S={s_{1},s_{2},\cdots,s_{n}}$，这些字符串只由小写字母组成。求这样一个字符串集合 $T$，使得 $T$ 中的字符串没有公共字符，且 $T$ 中字符串长度的乘积最大。输出这个最大值。

解决方案

首先，我们需要统计每个字符串中每个字母出现的次数。这可以通过一个长度为 $26$ 的数组来完成。我们将这个数组称为字符计数数组。设 $c_{i,j}$ 表示第 $i$ 个字符串中字母 $j$ 出现的次数。字符计数数组可以通过以下代码计算：

# 初始化计数器
cnt = [[0] * 26 for _ in range(n)]

# 统计每个字符串中每个字母出现的次数
for i in range(n):
    for j in range(len(s[i])):
        cnt[i][ord(s[i][j]) - ord('a')] += 1

接下来，我们定义 $dp[i][mask]$ 表示当前已选 $T$ 中包含的字符串编号为 $mask$ 的二进制表示时，第 $i$ 个字符串可以选的最大长度。其中，$mask$ 中第 $j$ 个二进制位为 $1$ 表示第 $j$ 个字符串已经被选择为 $T$ 中的字符串。

那么，我们有以下状态转移方程：

$$ dp[i][mask] = \max\limits_{j=1}^{n} \begin{cases} dp[i-1][mask - 2^{j-1}] \times len(s_{j}) & \ \quad\quad(\forall k\in [1,len(s_{j})],\quad cnt[j][s_{i,k}]\leq 1) \ 0 & \textit{otherwise} \end{cases} $$

其中，$2^{j-1}$ 表示一个二进制数中，第 $j$ 个二进制位为 $1$，其余为 $0$。$len(s_{j})$ 表示字符串 $s_{j}$ 的长度。$\forall k\in [1,len(s_{j})],\quad cnt[j][s_{i,k}]\leq 1$ 表示字符串 $s_{j}$ 中所有字符出现的次数都小于等于 $1$。

最终的答案是 $dp[n][2^{n}-1]$，表示当所有字符串都被加入 $T$ 中之后，$T$ 中字符串长度的乘积的最大值。

代码实现

下面是本题的实现代码：

n = int(input())
s = [input() for _ in range(n)]

# 初始化计数器
cnt = [[0] * 26 for _ in range(n)]

# 统计每个字符串中每个字母出现的次数
for i in range(n):
    for j in range(len(s[i])):
        cnt[i][ord(s[i][j]) - ord('a')] += 1

# 初始化状态转移数组
dp = [[0] * (1 << n) for _ in range(n+1)]
for i in range(n):
    dp[0][1 << i] = len(s[i])

# 状态转移
for i in range(1, n+1):
    for j in range(1, 1 << n):
        for k in range(n):
            if (j & (1 << k) == 0):
                continue
            if (all(cnt[k][ord(s[i-1][l]) - ord('a')] <= 1 for l in range(len(s[i-1])))):
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][j-(1<<k)]*len(s[k]))
    
# 输出答案
print(dp[n][(1<<n)-1])

总结

本题是一道典型的动态规划题目，涉及到了状态的定义、状态转移方程的设计等多个方面。题目难度较大，需要对动态规划有充分的理解和掌握。