最大化每个元素与其余数组的绝对差之和之间的差

介绍

本文将介绍如何通过代码实现最大化每个元素与其余数组的绝对差之和之间的差，该问题可以用贪心算法来解决。具体来说，对于一个长度为n的数组，对于第i个元素而言，我们可以让它与剩下的n-1个元素都取绝对值差，然后将这n-1个差相加得到一个数值，即为第i个元素与其余元素的绝对差之和。我们想要最大化每个元素与剩余元素的绝对差之和之间的差，即$\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1,j\neq i}^n\left|a_i-a_j\right|\right) - \max_{1\leq i\leq n}\left(\sum_{j=1,j\neq i}^n\left|a_i-a_j\right|\right)$，其中$a_i$表示第i个元素的值。

解决方法

可以考虑将上式分解为：$\sum_{i=1}^n\left(\sum_{j=1,j<i}^n\left(a_i-a_j\right) + \sum_{j=i+1}^n\left(a_j-a_i\right)\right) - \max_{1\leq i\leq n}\left(\sum_{j=1,j\neq i}^n\left|a_i-a_j\right|\right)$。化简后可得：$\sum_{i=1}^n(2i-n-1)a_i - 2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_j + \max_{1\leq i\leq n}\left(\sum_{j=1,j\neq i}^n\left|a_i-a_j\right|\right)$。 这样，我们只需要对$\sum_{i=1}^n(2i-n-1)a_i$排序，去掉前n/2小的元素，去掉后n/2大的元素，即得到了$\sum_{i=1}^n(2i-n-1)a_i - 2\sum_{1\leq i<j\leq n}a_j$的最大值。同时，我们可以利用一个单调队列来求解$\max_{1\leq i\leq n}\left(\sum_{j=1,j\neq i}^n\left|a_i-a_j\right|\right)$，具体来说，我们维护一个单调递减的队列，每次添加一个新的数时，将队列末尾比它小的元素全部弹出，并将新数加入队列末尾即可。

代码

def solve(arr):
    n = len(arr)
    sort_arr = sorted(arr)
    left_sum = sum((2 * i - n - 1) * num for i, num in enumerate(sort_arr[:n//2]))
    right_sum = sum(2 * num for num in sort_arr[n//2:])
    max_sum = 0
    q = []
    for i, num in enumerate(sort_arr):
        while q and sort_arr[q[-1]] < num:
            q.pop()
        if q:
            max_sum = max(max_sum, (q[-1] - i) * num + (sum(sort_arr[i+1:q[-1]]) - sum(sort_arr[q[-1]+1:i])))
        q.append(i)
    return left_sum - right_sum + max_sum

性能分析

时间复杂度：$O(n\log n)$

空间复杂度：$O(n)$