后缀树应用程序3 – 最长重复子串

简介

本篇介绍一种基于后缀树的算法，用于求解字符串中的最长重复子串问题。最长重复子串问题指在一个字符串中找到长度最长的出现至少两次的子串。

算法实现

创建后缀树

首先需要创建一个后缀树，通过将字符串的所有后缀添加到后缀树上来实现。后缀树的创建可参考后缀树应用程序1 – 字符串搜索中的算法实现。

查找最长重复子串

在后缀树中查找最长重复子串的方法是使用后序遍历，从下至上依次处理每个内部节点（即一个或多个子节点的父节点）。

对于每个内部节点，统计其所有叶子节点对应的字符串长度之和 $L$；同时，遍历该节点的所有子节点，在其中查找字符串长度最大的子节点并记录长度 $M$。

如果长度最大的子节点存在，且 $L\geqslant2M$，则最长重复子串的起始位置为长为 $M$ 的子节点的起始位置，长度为 $M$。否则，最长重复子串不存在。

代码实现：

def find_longest_repeat_substring(root):
    max_len = 0
    max_node = None
    for node in root.children.values():
        if node.is_leaf():
            continue
        node_l = sum([leaf.depth for leaf in node.traverse_leaves()])
        max_child = max(node.children.values(), key=lambda x: x.str_len)
        if max_child.str_len > max_len and node_l >= 2 * max_child.str_len:
            max_len = max_child.str_len
            max_node = max_child
    if max_node is None:
        return None
    else:
        return max_node.edge_start - max_len, max_len

算法复杂度

后缀树的构建时间复杂度为 $O(n\log n)$，其中 $n$ 为字符串长度。最长重复子串的查找时间复杂度为 $O(n)$。

总结

本文介绍了一种用于求解字符串中最长重复子串问题的基于后缀树的算法。该算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$，并且可以在较短的时间内得到最优解。