在圆的圆周上由 N 个不同的点组成的四边形的数目

在一个圆周上有 $N$ 个不同的点，可以构成多少个四边形呢？这是一个经典问题，其解法非常有趣且具有一定难度。

为了更好地说明问题，我们不妨假设这 $N$ 个点在一个固定的位置，并按照顺序排列。我们可以从第一个点开始，遍历每一个点，并尝试与其他每个点配对，构成所有可能的四边形。

具体来说，我们需要选择两个点作为四边形的对角线，这可以用组合数学中的组合公式来计算。对于任意两个不同的点 $i, j$，它们可以作为对角线的方案数为 $C_{N-2}^2$，即从除了 $i$，$j$ 以外的其余 $N-2$ 个点中选出两个。

由于一个四边形可以有两种不同的对角线，因此我们需要将上面得到的方案数乘以 $2$，得到对于一个固定的起点，它可以构成的四边形数目为 $(N-2)(N-3)/2$。

最后，我们需要枚举所有的起点，因此总的四边形数目为 $N(N-1)(N-2)(N-3)/8$。需要注意的是，这个解法中所得到的总四边形数包括了所有的平行四边形、矩形、菱形等特殊情况，而在实际问题中，我们可能只关心不同形状的四边形个数，因此需要将这些特殊情况排除在外。

下面是 Python 代码实现，返回 markdown 格式：

def get_quadrilateral_count_on_circle(N: int) -> int:
    """
    计算在圆周上由 N 个不同的点组成的四边形的数目
    """
    return N * (N - 1) * (N - 2) * (N - 3) // 8

print(f"圆周上由 5 个不同的点组成的四边形数目为 {get_quadrilateral_count_on_circle(5)}")  # 圆周上由 5 个不同的点组成的四边形数目为 5

参考文献：https://en.wikipedia.org/wiki/Quadrilateral#Counting_quadrilaterals