最大路径总和问题

最大路径总和问题是指在一个由整数构成的矩阵中，从矩阵的第一行任意一个单元格出发，到达最后一行任意一个单元格的路径中，所有单元格的数字总和最大的路径。下面介绍一种动态规划的解法。

解法

首先，我们定义一个(N+1)*(N+1)的dp数组，其中dp[i][j]表示从第0行的任何一个单元格出发，到达第i行第j列的单元格的最大路径总和。

接着，我们可以推导出dp[i][j]的值如下：

• 当j = 0时，dp[i][j] = dp[i-1][j] + matrix[i][j]；
• 当0 < j < N-1时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + matrix[i][j]；
• 当j = N-1时，dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + matrix[i][j]。

其中，matrix[i][j]表示矩阵中第i行第j列的数字。

最终，我们只需遍历dp[N-1]数组中所有的数字，找到其中的最大值即为跨越整个矩阵的最大路径总和。

代码实现

下面是Python代码的实现：

def maxPath(matrix):
    n = len(matrix)
    dp = [[0] * n for i in range(n+1)]
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(i):
            if j == 0:
                dp[i][j] = dp[i-1][j] + matrix[i-1][j]
            elif j == i-1:
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + matrix[i-1][j]
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + matrix[i-1][j]
    return max(dp[n])

总结

本文介绍了最大路径总和问题的动态规划解法，思路比较简单，代码实现也较为容易。对于程序员来说，熟练掌握基本的动态规划算法思想是非常必要的。