可以参加的最小会议的长度

简介

在这个主题下，我们需要解决的问题是如何确定一个最小的会议长度，使得所有参加者都能够在这段时间内参加。

假设现在有n个人参加这个会议，每个人都有一段时间他不能参会。我们需要在这些时间段之外找出一个最小的时间段，让所有人都能参加会议。

这个问题是一个典型的图论问题，我们可以使用贪心算法或动态规划来解决它。

贪心算法解法

我们将所有的时间段按照结束时间从早到晚排序。然后从第一个时间段开始，选取第一个结束时间最早的时间段，将这个时间段的结束时间作为标记，标记下一个时间段必须从这个时间段的结束时间开始安排。接着依次选择下一个结束时间最早的时间段，直到所有时间段都被覆盖。

代码片段：

def min_meeting_length(schedule):
    schedule.sort(key=lambda x:x[1]) # 按结束时间排序
    end_time = schedule[0][1] # 标记第一段结束时间
    length = 1
    for s in schedule:
        if s[0] >= end_time: # 如果时间段开始时间>=标记时间，就选它
            end_time = s[1]
            length += 1
    return length

时间复杂度为O(nlogn)，因为需要排序。

动态规划解法

使用动态规划来解决这个问题也是可行的。我们可以先针对各个参会者的时间段进行划分，每一个时间段都是一个状态。然后我们设f(i)表示第i个状态覆盖所有的时间段所需要的最小长度，状态转移方程为：

$$f(i) = min_{j=1}^{i-1}{f(j) + 1}, j \in conflict(i, j)$$

其中，conflict(i, j)表示第i个状态和第j个状态冲突，即存在参会者不能同时参加两个状态对应的会议。

代码片段：

def min_meeting_length(schedule):
    def conflict(i, j):
        s1, e1 = schedule[i]
        s2, e2 = schedule[j]
        return s1 < e2 and s2 < e1
    
    dp = [float("inf")] * len(schedule)
    dp[0] = 1
    for i in range(1, len(schedule)): # 枚举状态
        for j in range(i): # 枚举前面的状态
            if not conflict(i, j):
                dp[i] = min(dp[i], dp[j]+1)
    return dp[-1]

时间复杂度为O(n^2)，因为需要枚举所有状态。但是这个算法由于需要计算每一个状态的决策，所以会更准确。