数学 |偶数和奇数自然数的平方和

本文介绍了如何求偶数和奇数自然数的平方和，下面将分别介绍两种方法。

方法一：暴力求解

暴力求解是一种最常见和最容易理解的方法，它可以通过遍历自然数，筛选出偶数和奇数，然后对它们进行平方和的累加计算。接下来是代码实现：

/**
 * 暴力求解，遍历自然数，累加偶数和奇数的平方和
 * @param n 求和的范围
 * @return 偶数和奇数的平方和
 */
public static StringBuilder bruteForce(int n) {
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    int sumOdd = 0, sumEven = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (i % 2 == 0) {
            sumEven += i * i;
        } else {
            sumOdd += i * i;
        }
    }
    sb.append("偶数平方和为").append(sumEven).append("\n");
    sb.append("奇数平方和为").append(sumOdd);
    return sb;
}

方法一的时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)。虽然它的实现比较简单，但是在处理大数时会存在性能问题。

方法二：数学公式求解

数学公式求解是一种更加高效的方式，它可以通过数学公式摆脱遍历自然数的限制，同时也减少了计算的次数。接下来是代码实现：

/**
 * 数学公式求解，利用数学公式求解偶数和奇数的平方和
 * @param n 求和的范围
 * @return 偶数和奇数的平方和
 */
public static StringBuilder mathFormula(int n) {
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    int sumOdd = 0, sumEven = 0;
    //求偶数和的平方和
    sumEven = ((n / 2) * (n / 2 + 1)) * (2 * n + 1) / 3;
    //求奇数和的平方和
    sumOdd = ((n / 2) * (n / 2 + 1) * (2 * n + 1) - n / 2) / 3;
    sb.append("偶数平方和为").append(sumEven).append("\n");
    sb.append("奇数平方和为").append(sumOdd);
    return sb;
}

方法二的时间复杂度为O(1)，空间复杂度为O(1)。它的实现比较简洁，同时也具有更好的性能。

总结

两种方法都可以求解偶数和奇数自然数的平方和，但是它们的实现方式不同，性能也有所区别。对于小范围的求解，我们可以采用方法一，对于大范围的求解，我们可以采用方法二。