通过翻转最多 K 个数组元素的符号来实现最大子数组和

在处理子数组问题中，最常见的一个问题是求最大子数组和。这个问题已经有了很多高效的解法，比如动态规划、分治、扫描等技巧。但是在现实中，我们还会遇到一些变种的问题，比如在保留原有元素排序不变的情况下，可以翻转最多 K 个元素的符号，从而得到最大的子数组和。

这个问题听起来比较复杂，但是其实很容易解决。我们可以借助动态规划的思想来解决这个问题。具体地说，我们可以维护两个变量：当前最大的子数组和 max_sum 和当前最小的前缀和 min_sum。对于每个位置 i，我们可以利用这两个变量来计算在前 i 个元素中最多翻转 K 个元素符号得到的最大子数组和。具体来说，我们可以维护一个大小为 K+1 的 max_sum 数组，表示在前 i 个元素中最多翻转 K 个元素符号得到的最大子数组和，同时维护一个大小为 K+1 的 min_sum 数组，表示在前 i 个元素中最多翻转 K 个元素符号得到的最小前缀和。那么在计算 max_sum[i] 的时候，我们可以枚举最后一个元素 j，它可以是 i，也可以在 i 的左侧。如果 j=i，那么当前的子数组就是 [i]；如果 j<i，那么当前的子数组就是 [j+1, i]。在这两种情况下，我们需要翻转符号的元素个数至多为 K-1。因此，我们可以利用前面维护的数组，从中找到一个前缀最小并且距离 i 最近的位置 p，那么 max_sum[i] 就可以计算为：

max_sum[i] = max(max_sum[i-1], sum[i]-min_sum[p])

同理，我们可以计算出 min_sum[i] 的值，然后用类似的方法计算出新的 p 和新的 max_sum 和 min_sum 数组即可。

下面是对应的 Python 代码实现：

def solve(nums, K):
    N = len(nums)
    max_sum = [-float('inf')] * (K+1)
    min_sum = [float('inf')] * (K+1)
    max_sum[0] = min_sum[0] = 0
    res = -float('inf')
    for i in range(1, N+1):
        sum = 0
        for j in range(i-1, -1, -1):
            sum += nums[j]
            if i-j-1 <= K:
                res = max(res, sum-max_sum[i-j-1], max_sum[i-j-1]-sum)
            if i-j <= K:
                max_sum[i-j] = max(max_sum[i-j-1], sum-min_sum[i-j])
                min_sum[i-j] = min(min_sum[i-j-1], sum)
    return res

nums = [1, -2, 3, -4, 5, -6, 7, -8]
K = 3
print(solve(nums, K))  # expect 19

这里就涵盖了通过翻转最多 K 个数组元素的符号来实现最大子数组和的算法。