从所有顶点的给定度数构造一个图

在编写图算法时，有时需要构造图来观察算法的行为。在这种情况下，您可能会被要求从一个给定的一组度数构建一个图，使得每个节点的度数都是给定的值。这种类型的问题被称为度数问题，经常出现在计算机科学的离散数学中。

简介

本文将介绍如何使用Python语言构建这种类型的图。我们将首先简要介绍一些概念，然后给出一个算法来构造图。

概念

在我们讨论如何构造这样一个图之前，我们需要了解一些图的基本概念。

无向图

一个无向图是一种图，其中所有边都没有方向。也就是说，如果节点'v'与节点'w'之间有一条边，那么节点'w'与节点'v'之间也有一条边。

节点的度数

在一个无向图中，节点的度数是指与该节点相连的边数。例如，在下面这张图中，节点'A'的度数为2，节点'B'的度数为3。

    A-----B      C
     \   / \    /
       D   E --F

连通图

一个连通图是指在该图中，任意两个节点都可以通过一系列的边相连到达。上面的这张图是一个连通图，因为可以通过边将每个节点连接在一起。

算法

在开始构造图之前，让我们首先考虑一下我们需要注意哪些事项。首先，我们需要构建一个连接所有节点的图，因此我们需要确保图是连通的。其次，我们需要保证每个节点的度数是给定的值。

我们可以使用贪心算法来解决这个问题。首先，我们将节点的度数从大到小排序，然后从度数最大的节点开始，向度数较小的节点添加边。这样做的原因是，这样可以尽量不添加多余的边来使其满足度数要求，并且可以确保图是连通的。

让我们来看一下具体步骤：

1. 给定一个节点列表和一个度数列表。
2. 根据度数从大到小排序节点列表。
3. 对于每个节点，从它的度数开始，向度数较小的节点添加一条边，直到它的度数符合给定值或无法再添加边为止。
4. 如果有剩余的度数没有分配完毕，则无法构造这样的图。

下面是使用Python实现的代码片段：

def build_graph(vertices, degrees):
    graph = [[0] * len(vertices) for _ in range(len(vertices))]
    sorted_vertices = sorted(vertices, key=lambda v: degrees[vertices.index(v)], reverse=True)
    for v in sorted_vertices:
        degree = degrees[vertices.index(v)]
        for i in range(degree):
            for u in sorted_vertices:
                if u == v or degrees[vertices.index(u)] == 0 or graph[vertices.index(v)][vertices.index(u)] == 1:
                    continue
                graph[vertices.index(v)][vertices.index(u)] = 1
                graph[vertices.index(u)][vertices.index(v)] = 1
                degrees[vertices.index(u)] -= 1
                degrees[vertices.index(v)] -= 1
                break
        if degrees[vertices.index(v)] != 0:
            return None
    return graph

结论

在本文中，我们介绍了如何从给定的度数列表中构造一个图。我们使用了贪心算法并给出了一个Python实现。希望这篇文章对您有所帮助。