计算凸多边形三角划分方式数

问题描述

对于一个由 $n+2$ 条边组成的凸多边形，我们考虑从其顶点出发，将其三角剖分为若干个三角形，求此种三角剖分方式总数。

解题思路

这是一道比较经典的计数问题，求解方式有很多种，我们这里介绍一种漂亮的“定式”解法。

考虑将凸多边形中的一条边从多边形中剖出，将其分为左右两个部分，然后对每个部分分别递归计算它的三角剖分方式总数，最后将这两个部分的总数相乘即可得到整个多边形的总方案数。

很明显，这是一个子问题结构类似的问题，于是我们可以考虑用动态规划（DP）求解，即：设 $f(n)$ 表示 $n+2$ 条边的凸多边形的三角剖分方式总数，那么 $f(n)$ 可以分解为子问题的解进行递推：

$$ f(n)=\sum_{i=2}^{n+1}f(i-2)\times f(n-i+1) $$

初始条件为 $f(0)=0$，即边数不足三条时，无法构成凸多边形，因此三角剖分方式数为 $0$；$f(1)=0$，即正方形是唯一的不需要划分的凸多边形，因此三角剖分方式数为 $0$ 。

在计算 $f(n)$ 的时候，$i$ 表示将凸多边形分成的两个部分的共同顶点在顶点列表中的下标，因此 $f(i-2)\times f(n-i+1)$ 表示将凸多边形分成左右两个部分后三角剖分方式总数的乘积。

最终，$f(n)$ 就是这道问题的答案。代码如下所示：

def count_triangle_partition(n: int) -> int:
    if n <= 1:
        return 0
    f = [0 for _ in range(n+1)]
    f[0], f[1] = 0, 0
    for i in range(2, n+1):
        for j in range(0, i-1):
            f[i] += f[j] * f[i-j-1]
    return f[n]

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n^2)$
• 空间复杂度：$O(n)$

总结

这是一道比较经典的计数问题，我们通过漂亮的“定式”解法，使用动态规划（DP）对其进行了求解，代码简洁易懂，时间空间复杂度均为 $O(n^2)$，值得进一步探讨和学习。