拼图 | 9 学生和红黑帽

简介

这是一道经典的谜题，也是逻辑思维和数学推理的好题型。有一个岛上住着 9 名学生和一个恶魔。其中 6 人头戴白帽，3 人头戴黑帽。这些学生在一个平衡天秤上围成一个圈，每个人头上都有一个帽子。他们不能互相交流，也不能看到自己头上的帽子。只有恶魔知道每个学生的帽子颜色，并且会选出其中一人开始询问。被问到的学生只能回答“白帽”或“黑帽”，不能说别的话。如果回答错误则会立刻被恶魔杀掉。如果回答正确即可幸存。现在问题来了：如何使所有学生尽可能多的存活下去？

解题思路

首先，注意到有 3 个黑帽和 6 个白帽。因为学生不能交流，所以每个学生都不知道自己的帽子颜色，只能根据前面同学的回答来判断自己的帽子颜色。考虑这样一种情况：如果求问的学生前方有 3 个黑帽，那么这个学生就能够判断自己头上的帽子颜色是白色，因为黑帽数量已经达到限制，剩下的三顶帽子就只能全是白帽了。同理，如果求问的学生前方有 2 个黑帽，那么这个学生也能够判断自己头上的帽子颜色是白色，因为除去自己和求问的学生，前面一共有 2 个黑帽，只能是白帽了。同样地，如果求问的学生前方有 1 个黑帽，那么这个学生也能够判断自己头上的帽子颜色是白色，因为除去自己和求问的学生，前面一共有 1 个黑帽，只能是白帽了。但是如果前面没有黑帽，那么不能判断自己的帽子颜色。因此，我们需要找到一个规律，让每个学生至少有一种情况下能够判断自己头上的帽子颜色。

考虑将学生编号为 1、2、3、4、5、6、7、8、9，让第 i 个学生询问第 i+3 个学生（加 3 的操作均为模 9 意义下的加法）。这样，每个学生头前恰好有 3 个学生，如果前面有 1、2、3 个黑帽，就会产生上述情形。而如果前面没有黑帽，那么头顶的帽子颜色和顺时针方向上第 4 个人头顶的帽子颜色相同（因为其他人的帽子颜色都已知）。因此，只有顺时针方向上第 4 个人能够确定自己头顶的帽子颜色，其余人不能。这样，总共只有一人不能确定自己头顶的帽子颜色，其余人都能够知道自己头顶的帽子颜色。因此，总共有 8 人能够存活下来。

代码实现

这是一个简单的解题思路，实现起来也很简单。我们可以用 Python 来实现这个算法，代码如下：

def surviving_students(hats):
    """
    hats: list(int) 表示每个学生头上的帽子颜色，0 表示白帽，1 表示黑帽。
    """
    cnt_black = sum(hats)
    cnt_white = len(hats) - cnt_black
    return cnt_white >= 3  # 八个人能够存活下来

hats = [0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1]
print(surviving_students(hats))  # True

这段代码中，hats 是一个表示每个学生头上的帽子颜色的列表，0 表示白帽，1 表示黑帽。surviving_students 函数返回一个布尔值，表示八个人是否能够全部存活下来。这个函数计算了学生头上黑帽和白帽的数量，只有当白帽数量大于等于 3 时才会返回 True。