红宝石 | 矩阵 cofactor_expansion() 函数

在矩阵计算中，cofactor expansion（代数余子式展开/拉普拉斯展开）是一种方法，用于计算给定矩阵的行列式值。红宝石提供了 Matrix 类，其中包含了许多用于矩阵计算的方法，其中就包括了 cofactor_expansion() 函数。

什么是代数余子式展开？

代数余子式展开是一种用于计算方阵行列式的方法。对于一个 n 阶矩阵 A，它的行列式值可以通过对第 i 行和第 j 列的元素计算出代数余子式 A_ij，然后将这些代数余子式与它们的系数乘积之和相加得到。系数的正负号遵循一个 + - + - ... 的规律，即从第一项开始，交替的取正负号。

例如，对于一个 3x3 的矩阵 A，它的行列式可以表示为：

det(A) = A₁₁ * C₁₁ - A₁₂ * C₁₂ + A₁₃ * C₁₃

其中 C_ij 是矩阵 A 的第 i 行第 j 列元素的代数余子式。

红宝石中的 cofactor_expansion() 函数

cofactor_expansion() 是红宝石中 Matrix 类的一个方法。它可以用于计算任何方阵的行列式值。

语法

Matrix#cofactor_expansion(*args)

参数

*args：一个可变长度的参数列表，第一个参数为整数 k，指定展开的行号或列号。如果传入了两个整数 i 和 j，则按照 A_ij 计算代数余子式。

返回值

代数余子式展开的结果，通常即为该矩阵的行列式值。

示例

require 'matrix'

matrix = Matrix[[1, 3], [2, 4]]
det = matrix.cofactor_expansion(1)   # 行列式为 -2

matrix = Matrix[[1, 2, 3], [2, 5, 7], [3, 6, 9]]
det = matrix.cofactor_expansion(1)   # 行列式为 0

在第一个示例中，矩阵的行列式通过计算第一行元素的代数余子式展开得到。

在第二个示例中，该矩阵的第一列的和为 6，第二列的和为 15，第三列的和为 24。代数余子式展开的结果是 1 * 0 - 2 * (-3) + 3 * 0 = 6，即行列式为 6。

注意事项

• 需要保证传入的矩阵是方阵。
• 矩阵的元素类型必须相同，否则结果将无法预测。
• 计算行列式时，矩阵的元素类型必须支持乘法和加法。