国际空间研究组织 | ISRO CS 2018 |问题 20

题目描述：给定两个正整数l和r，找到lr之间的数字，其最大公约数（GCD）等于1

本问题需要实现一个函数，输入参数包括两个正整数l和r，输出参数为一个整数数组，数组中的元素是lr之间所有最大公约数为1的数字。

算法分析

显然，如果两个数字a和b之间存在质数p，且p是a和b的公约数，则p的次数在a和b的因数中必定都出现了。因此，如果我们枚举l和r之间所有的质数，然后筛选出它们的倍数（在l和r之间），从而找到l和r之间所有具有该质数的因子的数字，然后从中筛选出最大公约数为1的数字即可。

代码实现（Python）

def sieve_of_eratosthenes(n):
    # 生成小于等于n的所有质数
    primes = []
    is_prime = [True] * (n + 1)
    for p in range(2, n + 1):
        if is_prime[p]:
            primes.append(p)
            for i in range(p * p, n + 1, p):
                is_prime[i] = False
    return primes

def gcd(a, b):
    if a < b:
        a, b = b, a
    while b:
        a, b = b, a % b
    return a

def find_gcd1_numbers(l, r):
    # 找到l和r之间所有最大公约数为1的数字
    primes = sieve_of_eratosthenes(r)
    res = []
    for i in range(l, r + 1):
        flag = True
        for p in primes:
            if p * p > i:
                break
            if i % p == 0:
                if gcd(p, i // p) != 1:
                    flag = False
                    break
        if flag:
            res.append(i)
    return res

复杂度分析

生成小于等于n的质数需要O(nloglogn)的时间。因此，时间复杂度主要取决于枚举l和r之间的数字和质数。

因为问题的输入l和r是有限数，因此枚举l和r之间的数字的时间复杂度为O(r-l+1)。

对于质数，如果我们假设它们在l和r之间的出现次数均匀分布，则枚举质数需要的时间复杂度为O((r-l+1)log(log(r))), 其中，log(log(r))是由于质数密度的逐渐下降。

因此，算法的总时间复杂度为O((r-l+1)log(log(r)))，空间复杂度则取决于生成的质数。