矩阵的行列式是该矩阵的标量属性。行列式是一个特殊的数字,它只为方阵定义(矩阵的复数)。方阵具有相同的行数和列数。
行列式用于知道矩阵是否可以反转,它在联立线性方程(克莱默规则)的分析和求解中很有用,在微积分中使用,用于找到三角形的面积(如果给定坐标)等等。矩阵 A 的行列式表示为|A|或det(A) 。
矩阵行列式的性质:
- 跨任何行或列评估的行列式是相同的。
- 如果行(或列)的所有元素都为零,则行列式的值为零。
- 单位矩阵的行列式 ( ) 是1 。
- 如果行和列互换,则行列式的值保持不变(值不变)。因此, det(A) = det( ) ,这里是矩阵 A 的转置。
- 如果行列式的任何两行(或两列)互换,则行列式的值乘以-1 。
- 如果行列式的行(或列)的所有元素都乘以某个标量数 k,则新行列式的值是给定行列式的 k 倍。因此,如果 A 是一个 n 行方阵,K 是任何标量。然后|KA| = |A| .
- 如果行列式的两行(或列)相同,则行列式的值为零。
- 设 A 和 B 为两个矩阵,则det(AB) = det(A)*det(B) 。
- 如果 A 是矩阵,则| | = .
- 矩阵逆的行列式可以定义为| | = .
- 对角矩阵的行列式,三角矩阵(上三角矩阵或下三角矩阵)是主对角线元素的乘积。
- 在行列式中,任何行(或列)中的每个元素都由两项之和组成,则行列式可以表示为两个相同顺序的行列式之和。例如,
- 如果 B 是通过将 A 的一行添加到另一行的 c 倍获得的,则 .
- 设 A 是一个矩阵,然后,
|adj(A)| =
|adj(adj(A))| = ,
这里 adj(A) 是矩阵 A 的伴随。 - 如果行列式的值通过代入 x = 变为零 , 那么 x- 是一个因素 .
- 这里,cij 表示 aij 中元素的辅因子 .
- 在行列式中,任何行(或列)的元素与任何其他行(或列)的相应元素的辅因子的乘积之和为零。例如,
d = ai1*Aj1 + ai2*Aj2 + ai3*Aj3 +…… + ain*Ajn,这里 Aj1, Aj2, Aj3 …Ajn 是沿第 j 行元素的辅因子。 - 让是 A(n 阶方阵)的特征值。然后det(A) = , 特征值的乘积。