矩阵行列式的性质

矩阵的行列式是该矩阵的标量属性。行列式是一个特殊的数字，它只为方阵定义(矩阵的复数)。方阵具有相同的行数和列数。

行列式用于知道矩阵是否可以反转，它在联立线性方程(克莱默规则)的分析和求解中很有用，在微积分中使用，用于找到三角形的面积(如果给定坐标)等等。矩阵 A 的行列式表示为|A|或det(A) 。

矩阵行列式的性质：

1. 跨任何行或列评估的行列式是相同的。
2. 如果行(或列)的所有元素都为零，则行列式的值为零。
3. 单位矩阵的行列式 ( $I_n$ ) 是1 。
4. 如果行和列互换，则行列式的值保持不变(值不变)。因此， det(A) = det( $A^T$ ) ，这里$A^T$是矩阵 A 的转置。
5. 如果行列式的任何两行(或两列)互换，则行列式的值乘以-1 。
6. 如果行列式的行(或列)的所有元素都乘以某个标量数 k，则新行列式的值是给定行列式的 k 倍。因此，如果 A 是一个 n 行方阵，K 是任何标量。然后|KA| = $K^n$ |A| .
7. 如果行列式的两行(或列)相同，则行列式的值为零。
8. 设 A 和 B 为两个矩阵，则det(AB) = det(A)*det(B) 。
9. 如果 A 是矩阵，则| $A^n$ | = $(|A|)^n$ .
10. 矩阵逆的行列式可以定义为| $A^-^1$ | = $\dfrac{1}{|A|}$ .
11. 对角矩阵的行列式，三角矩阵(上三角矩阵或下三角矩阵)是主对角线元素的乘积。
12. 在行列式中，任何行(或列)中的每个元素都由两项之和组成，则行列式可以表示为两个相同阶的行列式之和。例如，

    

13. 如果 B 是通过将 A 的一行添加到另一行的 c 倍获得的，则$\det (B) = \det (A)$ .
14. 设 A 为矩阵，则
    |adj(A)| = $(|A|)^n^-^1$
    |adj(adj(A))| = $|A|^(^n^-^1^)^*^(^n^-^1^)$ ,
    这里 adj(A) 是矩阵 A 的伴随。

15. 如果行列式的值$\Delta$通过代入 x = 变为零$\alpha$ , 那么 x- $\alpha$是一个因素$\Delta$ .
16. 这里，cij 表示 aij 中元素的辅因子$\Delta$ .

    
    

17. 在行列式中，任何行(或列)的元素与任何其他行(或列)的相应元素的辅因子的乘积之和为零。例如，
    d = ai1*Aj1 + ai2*Aj2 + ai3*Aj3 +…… + ain*Ajn，这里 Aj1, Aj2, Aj3 …Ajn 是沿第 j 行元素的辅因子。
18. 让$\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3.......\lambda_n$是 A(n 阶方阵)的特征值。然后det(A) = $\lambda_1*\lambda_2*\lambda_3.....*\lambda_n$ , 特征值的乘积。