数学 | 旋转体的表面面积

在几何中，旋转体是指空间中由曲线绕某条轴旋转一周形成的立体图形。旋转体的表面面积是指其表面所覆盖的总面积。这个概念在计算机图形学和工程学中有广泛应用，例如建模物体的外观、计算燃烧室或汽缸的内壁表面积等。接下来，我们将探讨如何计算旋转体的表面面积。

圆锥的表面面积公式

首先，我们来考虑一个特殊的旋转体——圆锥。以圆锥的底面为半径 $r$，高为 $h$，大概长这样：

我们可以将圆锥沿其轴线旋转一周，形成一个圆锥体，其表面面积为：

$$S= \pi r\sqrt{r^2+h^2}$$

这个公式中出现了三角函数的平方，我们不难想到将其转化成关于 $\tan$ 的式子：

$$S= \pi r\sqrt{r^2+h^2}=\pi r\sqrt{\frac{r^2}{\tan^2\theta}+r^2}= \pi r^2\sqrt{1+\tan^2\theta}=\pi r^2\sec\theta$$

其中，$\theta$ 是圆锥的斜高角，可以用 $\tan\theta=\dfrac{r}{h}$ 计算得出。从上式可以看出，圆锥表面面积与底面半径和离心距离有关。

旋转体的表面面积定积分公式

对于一般的曲线，我们可以使用定积分来计算旋转体的表面面积。

假设曲线在某段区间上由函数 $y=f(x)$ 给出，并且该曲线被绕着 $x$ 轴旋转一周形成的旋转体。我们将该旋转体分割成若干小块，每一小块长得大约是这样：

我们可以看出，每一个小块的表面近似为一个圆柱体，其面积为

$$dS=2\pi y\cdot ds$$

其中 $ds$ 是曲线在旋转时对应的弧长微元。那么，整个旋转体的表面面积就可以表示为定积分：

$$S=\int_{x=x_0}^{x=x_1} 2\pi y\cdot ds=\int_{x=x_0}^{x=x_1} 2\pi y\cdot \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2}dx$$

这个公式可以泛化到更一般的情况下。例如，如果旋转体是由给定曲线绕 $y$ 轴旋转形成的，则可将 $x$ 和 $y$ 互换，并调整积分区间。如果旋转体是有孔的，则可分成多个部分分别计算表面面积。

以上是关于旋转体表面面积的介绍，学习过各种积分技巧后，我们就能准确地计算出各种形状的旋转体表面面积。