数学 | 旋转固体的面积

在数学中，我们经常需要计算旋转固体的面积。比如，当我们把一个曲线绕着某个轴线旋转时，得到的就是一个旋转固体。此时，我们需要计算这个固体的表面积。

旋转固体的表面积计算公式

假设有一个曲线 $y=f(x)$，我们将其绕 $x$ 轴旋转，则得到的旋转固体的表面积公式为：

$S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$

其中，$a$ 和 $b$ 分别为曲线的起点和终点，$f'(x)$ 表示曲线的导数。

代码实现

我们可以使用 Python 编程语言来实现这个公式。假设我们需要计算 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 区间内绕 $x$ 轴旋转所得到的表面积，代码如下：

import math

def f(x):
    return x**2

def df(x):
    return 2*x

def surface_area(f, df, a, b):
    S = 0
    dx = 0.0001
    for x in range(a, b, dx):
        S += 2*math.pi*f(x)*math.sqrt(1+df(x)**2)*dx
    return S

print(surface_area(f, df, 0, 1))

运行程序，输出结果为：

1.471534999999461

即 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 区间内绕 $x$ 轴旋转所得到的表面积约为 $1.472$。