仅由质数组成的子数组的计数

质数是指只能被1和它本身整除的数。给定一个长度为n的数组a，求仅由质数组成的子数组的计数。

解法

我们可以用筛法求出所有质数，并记录它们的下标。然后从左到右扫描数组，对于每个位置i，我们找到它右边最近的一个质数j，并计算以i为起点，j为终点的子数组的数量。

如何找到i右边最近的质数j呢？我们可以利用数组中质数下标的单调递增性质，二分查找即可。

具体实现可以参考下面的示例代码（使用Python）：

def count_prime_subarray(a):
    # 求出所有质数的下标
    is_prime = [True] * (max(a) + 1)
    is_prime[0] = is_prime[1] = False
    primes = []
    for i in range(2, len(is_prime)):
        if is_prime[i]:
            primes.append(i)
            for j in range(i*i, len(is_prime), i):
                is_prime[j] = False
    prime_indices = {p: i for i, p in enumerate(primes)}
    
    # 计算子数组数量
    count = 0
    for i in range(len(a)):
        j = bisect_right(primes, a[i]) - 1
        if j >= 0 and primes[j] == a[i]:
            count += 1
        if j < len(primes) - 1 and primes[j+1] < len(a):
            k = primes[j+1]
            count += (k-i) * (len(a)-k)
            
    return count

其中，bisect_right函数是Python标准库中的二分查找函数。我们还需要在代码开头导入它：

from bisect import bisect_right

时间复杂度

算法的时间复杂度为O(nlogn)，其中n为数组长度。质数的数量不会超过n/ln(n)，因此筛法的时间复杂度为O(nlog(logn))。对于每个位置i，二分查找的时间复杂度为O(log(n/ln(n)))，加上计算子数组数量的常数复杂度，总时间复杂度为O(nlogn)。

空间复杂度

算法的空间复杂度为O(n)，需要记录所有质数的下标。