算法 | 分而治之 | 问题3

分而治之（Divide and Conquer）是一种分治思想，在算法中被广泛应用。它通过将一个大的问题分解为多个相似的小问题来求解，并将小问题的解合并起来得到大问题的解。这种思想常常用于解决计算机科学中的很多问题，其中包括搜索、排序和求解最短路径等。

问题描述

给定一个长度为 n 的数组 arr，以及数字 k。你需要找到一个长度为 k 的连续子数组，使得这个子数组的平均值最大。返回这个最大的平均值。输出结果保留精度到小数点后 5 位。

解题思路

首先，我们可以想到暴力解法：枚举所有长度为k的连续子数组，求出它们的平均值，最后取最大值。这种做法的时间复杂度为 O(nk)，显然无法满足要求。

考虑使用二分法，通过二分求得符合条件的目标值，然后验证这个目标值是否合法。如果合法，则目标值可能更大；否则，目标值需要更小。这样不断缩小目标值的区间范围，最终找到符合要求的最大平均值。

具体来说，我们首先将数组 arr 中的每个元素都减去目标值 x，然后计算减去后的前缀和数组 prefixSum。如果 prefixSum[i] - prefixSum[j-1] >= 0（其中 i 和 j 分别为区间右端点和左端点），那么说明从 j 到 i 这一段区间中的元素之和大于等于 0，即这段区间的平均值大于等于 x。因此只需要在 prefixSum 数组中找到一个长度为 k 的不小于 0 的子数组即可。

判断目标值 x 是否可行的时间复杂度为 O(n)，因此使用二分法的总时间复杂度为 O(nlogn)。

代码实现

from typing import List

class Solution:
    def findMaxAverage(self, nums: List[int], k: int) -> float:
        left, right = min(nums), max(nums) + 1
        while right - left > 1e-5:
            mid = (left + right) / 2
            if self.check(nums, mid, k):
                left = mid
            else:
                right = mid
        return left

    def check(self, nums, mid, k):
        prefixSum = [0]
        for i in range(len(nums)):
            prefixSum.append(prefixSum[-1] + nums[i] - mid)
        minPrefixSum = 0
        for i in range(k, len(prefixSum)):
            if prefixSum[i] - minPrefixSum >= 0:
                return True
            minPrefixSum = min(minPrefixSum, prefixSum[i - k + 1])
        return False

总结

通过分而治之的思路，本题可以使用二分法求解。在二分的过程中，check 函数起到了验证目标值是否可行的作用。在 check 函数中，我们首先计算出减去目标值后的前缀和数组 prefixSum，然后使用滑动窗口的思想，寻找长度为 k 的子数组。这里需要注意的是，因为目标值可能是小数，因此我们要把判断是否大于等于 0 改成是否不小于 0。

本题的解法并不算难，但需要注意的细节较多。同时，本题也展现了分而治之的思想在算法中的重要作用。