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📅  最后修改于: 2023-12-03 14:41:20.105000             🧑  作者: Mango

Freivald算法，检查矩阵是否为两个的乘积

算法简介

Freivald算法是一种用于检查矩阵是否为两个矩阵的乘积的随机算法。该算法的时间复杂度为 $O(kn^2)$，其中 $k$ 为随机测试次数，$n$ 为矩阵的大小。

算法步骤
  1. 令 $A,B,C$ 为三个矩阵，其中 $C$ 为 $AB$ 的结果矩阵，尺寸为 $n \times m$。
  2. 随机生成一个 $n$ 维 01 向量 $r$。
  3. 计算 $P=Ar$ 和 $Q=B(Cr)$，其中 $Cr$ 表示对 $C$ 的每一列做矩阵向量积。
  4. 如果 $P=Q$，则有 $Cr = (AB)r$，否则有 $Cr \neq (AB)r$，这时 $C$ 不等于 $AB$。
代码实现

实现代码如下：

import random

def freivald(A, B, C, k):
    n = len(A)
    for i in range(k):
        r = [random.randint(0, 1) for _ in range(n)] # 生成随机 01 向量
        P = [sum(A[j][k] * r[k] for k in range(n)) for j in range(n)] # 计算 Ar
        Q = [sum(C[j][k] * P[k] for k in range(n)) for j in range(n)] # 计算 B(Cr)
        for j in range(n):
            if Q[j] != B[j]: # 判断 P 与 Q 是否相等
                return False
    return True
算法分析

由于该算法使用了随机数，因此存在误判的概率。当测试次数 $k$ 足够大时，误判概率趋近于 0。根据大数定律，当 $k$ 足够大时，算法的正确性可以得到保障。

参考资料