用Java实现 Coppersmith Freivald 算法

算法简介

Coppersmith-Freivald 算法是一个随机算法，用于检验两个矩阵是否相乘，其时间复杂度为 $O(kn^2)$，其中 $k$ 是参数，通常取 $\log n$。

该算法采用了拉斯维加斯算法的思想，具体流程如下：

1. 生成一个随机向量 $r$，其中每个元素的值为 $-1$ 或 $1$；
2. 计算 $y_1=A(x)r$ 和 $y_2=B(r)$，其中 $A(x)$ 和 $B(r)$ 分别表示两个矩阵对向量 $x$ 和 $r$ 的乘积；
3. 如果 $y_1=y_2$，则矩阵相乘，否则不相乘。

Java 实现

import java.util.Random;

public class CoppersmithFreivald {

    /**
     * 判断两个矩阵是否相乘
     * 
     * @param A 矩阵 A
     * @param B 矩阵 B
     * @param C 矩阵 C，即 A * B 的结果
     * @param k 参数 k
     * @return true 相乘，false 不相乘
     */
    public static boolean isMultiply(int[][] A, int[][] B, int[][] C, int k) {
        Random random = new Random();
        int n = A.length;

        // 生成随机向量
        int[] r = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            r[i] = random.nextInt(2) * 2 - 1;
        }

        // 计算 y1 和 y2
        int[] y1 = new int[n];
        int[] y2 = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int sum = 0;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                sum += A[i][j] * r[j];
            }
            y1[i] = sum;
        }
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            int sum = 0;
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                sum += B[i][j] * r[j];
            }
            y2[i] = sum;
        }

        // 计算 y1-Cy2，判断是否相乘
        int[] diff = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            diff[i] = y1[i] - y2[i];
        }
        return isZero(diff, k);
    }

    /**
     * 判断向量是否为零向量
     * 
     * @param vector 待判断的向量
     * @param k 参数 k
     * @return true 零向量，false 非零向量
     */
    private static boolean isZero(int[] vector, int k) {
        Random random = new Random();
        int n = vector.length;

        // 生成随机向量
        int[] r = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            r[i] = random.nextInt(2) * 2 - 1;
        }

        // 计算 x1 和 x2
        int[] x1 = new int[n];
        int[] x2 = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            x1[i] = r[i] * vector[i];
            x2[i] = r[i] * 0;
        }

        // 计算 x1-x2，判断是否为零向量
        int sum = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            sum += x1[i] - x2[i];
        }
        return sum == 0;
    }

    public static void main(String[] args) {
        int n = 3;
        int k = (int) (Math.log(n) / Math.log(2));
        int[][] A = new int[][] {{1, 2, 3}, {4, 5, 6}, {7, 8, 9}};
        int[][] B = new int[][] {{9, 8, 7}, {6, 5, 4}, {3, 2, 1}};
        int[][] C = new int[][] {{30, 24, 18}, {84, 69, 54}, {138, 114, 90}};
        boolean result = isMultiply(A, B, C, k);
        System.out.println(result);
    }
}

上面的代码片段实现了 Coppersmith-Freivald 算法的主要逻辑，使用了 Java 语言实现。其中 isMultiply 方法用于判断两个矩阵是否相乘，isZero 方法用于判断向量是否为零向量。在 main 方法中，我们生成了两个 $3\times 3$ 的矩阵 A 和 B，以及它们的乘积 C，然后调用 isMultiply 方法判断 A 和 B 是否相乘。