可以内接在截锥体中的直圆柱体中的最大球体

在计算机科学中，许多问题涉及如何在给定形状中找到最大球体。本文将介绍如何找到一个可以内接在截锥体中的直圆柱体中的最大球体。

问题描述

给定一个底面半径为 $r_1$，顶面半径为 $r_2$，高为 $h$ 的截锥体，以及一个内接该截锥体中的直圆柱体，如何找到该直圆柱体中可以内接最大球体的半径和球心坐标？

解决方案

基本思路是二分法加上三维向量计算，首先我们二分答案，先假设答案为 $mid$，对于半径为 $mid$ 的球，其圆心必然在内接圆柱体中。

接下来，我们需要确定内接球能否在这个半径大小下存在。对于 $mid$，有以下两种情况：

1. 直圆柱体高大于等于 $2mid$。此时，球心高度可以沿直圆柱面任意位置，而横坐标限制在内接圆的范围内，因此可以通过二分圆柱面直径来判断该情况是否成立。

2. 直圆柱体高小于 $2mid$。球体不能完全内接圆柱体，此时需要将球体分为两部分，分别内接圆柱体上下的小球和截锥体的锥面上的球。分别计算两个球的半径大小和圆心坐标，然后取最大值即可。

具体而言，我们先将内接圆柱体中心设置为坐标原点 $(0,0,\frac{h}{2})$，垂直于圆柱的方向为 z 轴正向，然后假设内接球的圆心坐标为 $(x_0,y_0,z_0)$，可以利用向量计算求出内接球的半径 $r$：

$$ r=\frac{h}{2}-z_0 $$

$$ r=min\left( r_1-\sqrt{x_0^2+y_0^2},r_2-\sqrt{x_0^2+y_0^2}\right) $$

其中，$r_1$ 和 $r_2$ 分别是底面和顶面圆的半径，$\sqrt{x_0^2+y_0^2}$ 是圆心到圆柱底面圆心的距离。

如果直圆柱体高度大于等于 $2mid$，则我们还需要二分圆柱直径。此时直圆柱体底面圆心为 $(0,0,-\frac{h}{2})$，圆柱的直径为 $d$，则内接圆柱上任意一点 $(x,y,z)$ 满足：

$$ x^2+y^2 \leq \left( \frac{d}{2}\right)^2, |z| \leq mid-\frac{h}{2} $$

因此，可以使用二分方法逼近 $d$ 的范围，满足上述方程组即可。

如果直圆柱体高度小于 $2mid$，则先计算内接圆柱体上方的小球，圆心距离 $z=\frac{h}{2}+mid$，直径为同内接圆柱体直径：

$$ x^2+y^2+(z-mid-\frac{h}{2})^2=r^2 $$

然后计算截锥体底部的小球，圆心距离 $z=-\frac{h}{2}+mid$，直径为底面圆的直径：

$$ x^2+y^2+(z+mid+\frac{h}{2})^2=r^2 $$

取两个小球半径的最小值 $r_1$，然后再计算大球的半径 $r_2$：

$$ r_2=min\left( r_1,r_2-\sqrt{x_0^2+y_0^2},h-2z_0\right) $$

其中，$h$ 是截锥体的高度。

最后，可以在所有合法答案中二分求解最大的内接球体半径。代码实现如下：

int n,r1,r2,h;
double pi=acos(-1.0);

//计算点 (x,y,z) 和圆心的距离
double dist(double x,double y,double z)
{
    return sqrt(x*x+y*y+z*z);
}

bool check(double mid)
{
    if(h>=2*mid) //直圆柱体高大于等于2mid，只需要判断内接圆柱体直径d是否可以容纳半径为mid的内接球
    {
        double d=(r1-r2)/(h*1.0)*mid+r2; //计算内接圆柱体直径
        if(d<mid*2) return false; //内接圆柱体直径比mid*2小，容纳不了内接球
        return true;
    }
    else //直圆柱体高小于2mid，分别计算圆锥锥面上球和内接圆柱体上下球
    {
        //计算圆锥锥面上球的半径
        double r1=min(mid,r2-dist(0,0,h/2-mid));
        //计算内接圆柱体底部小球的半径
        double r2=min(mid,r1-dist(0,0,h/2+mid));
        //计算内接圆柱体上部小球的半径
        r2=min(r2,r1-dist(0,0,-h/2+mid));
        //取最小半径，计算大球的半径
        double r3=min(r2,r1-dist(0,0,h/2-mid));
        if(r3<mid) return false; //容不下内接球，返回false
        return true;
    }
}

double get_radius(double x,double y,double z)
{
    return min(h/2-z,r1-sqrt(x*x+y*y));
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    while(n--)
    {
        scanf("%d%d%d",&r1,&r2,&h);
        double l=0,r=min(r1,r2),ans=0;
        while(r-l>=1e-5)
        {
            double mid=(l+r)/2;
            if(check(mid)) ans=mid,l=mid;
            else r=mid;
        }
        //处理输出格式，返回markdown字符串
        char str[100];
        sprintf(str,"答案: 半径=%.10f, 圆心坐标=(%.10f,%.10f,%.10f)",ans,0.0,0.0,h/2-ans);
        printf("%s\n",str);
    }
    return 0;
}

总结

本文介绍了如何找到可以内接在截锥体中的直圆柱体中的最大球体，主要思路是利用二分法加上向量计算求解，具有一定实用价值。