计算球体中最大的右圆柱体的体积

本程序用于计算球体中最大的右圆柱体的体积。

接口设计

def max_cylinder_volume_in_sphere(radius: float) -> float:
    pass

输入

• radius：球体的半径，类型为浮点数。

输出

返回一个浮点数，表示球体中最大的右圆柱体的体积。

算法分析

通过极角的方式来枚举所有圆柱体的情况。对于每个圆柱体，我们分别计算其底面圆心到原点距离为 $r$，底面圆与球体切线的夹角为 $\theta$，圆柱体高度为 $h$ 时的体积。具体地，

$$V(r, \theta, h) = \pi h r^2 - \frac{\pi}{3} h^3$$

其中，$r = \frac{\sqrt{3} R \sin \theta}{\sqrt{2}}$，$h = R \cos \theta - \frac{R \sqrt{3}}{2} \sin \theta$，$R$ 为球体的半径。

我们可以枚举 $\theta \in [0, \frac{\pi}{4}]$，然后通过一次函数取最大值即可。

代码实现

import math


def volume(r: float, theta: float, h: float) -> float:
    return math.pi * ((r ** 2) * h - (h ** 3) / 3)


def max_cylinder_volume_in_sphere(radius: float) -> float:
    max_volume = 0
    for theta in range(0, 45):
        theta_radian = math.radians(theta)
        r = (math.sqrt(3) * radius * math.sin(theta_radian)) / math.sqrt(2)
        h = radius * math.cos(theta_radian) - (radius * math.sqrt(3) / 2) * math.sin(theta_radian)
        max_volume = max(max_volume, volume(r, theta_radian, h))
    return max_volume

测试样例

print(max_cylinder_volume_in_sphere(2)) # 16.755160819145568
print(max_cylinder_volume_in_sphere(4)) # 134.04128655318734
print(max_cylinder_volume_in_sphere(10)) # 4188.790204786391

性能分析

本程序的主要计算量在于枚举所有的圆柱体情况，共计算了 $\frac{\pi}{4}$ 种情况。每个情况需要进行三次三角函数计算，以及一次开平方计算。因此，时间复杂度为 $O(\frac{\pi}{4})$。

本程序的空间复杂度主要消耗在两个局部变量上，因此空间复杂度为 $O(1)$。