计算二进制字符串的子串，使得每个字符属于大小大于 1 的回文

在计算机科学中，字符串是一种常见的数据类型。而计算字符串的子串则是计算机科学中的一个重要问题。本文将介绍如何计算二进制字符串的子串，并使得每个字符属于大小大于 1 的回文。

问题描述

给定一个二进制字符串，计算其中每个字符属于大小大于 1 的回文的子串数量。例如，对于字符串 "10101"，其中符合条件的子串为 "101" 和 "010"，因为它们都是大小大于 1 的回文。

解决方案

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划的方法。具体步骤如下：

1. 定义二维数组 dp，其中 dp[i][j] 存储以位置 i 和 j 的字符为边界的子串是否为回文。

2. 初始化数组 dp。对于所有的 i 和 j，如果 i == j，则 dp[i][j] = true，因为单个字符一定是回文的。如果 i + 1 == j，则 dp[i][j] = (str[i] == str[j])，因为长度为 2 的子串是回文的当且仅当两个字符相等。

3. 对于所有长度大于 2 的子串，我们需要使用递推公式来计算数组 dp。具体地，对于长度为 k 的子串，我们需要判断其首尾字符是否相等，以及其内部子串是否为回文。即：

   dp[i][j] = (str[i] == str[j]) && dp[i+1][j-1]

4. 计算符合条件的子串数量。对于每个位置 i 和 j，如果 dp[i][j] 为 true 并且 j-i+1 大于 1，则说明以 i 和 j 为边界的子串是大小大于 1 的回文。

综上所述，我们可以通过以下 Python 代码实现上述算法：

def count_palindromic_substrings(str):
    n = len(str)
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]
    count = 0

    # 初始化 dp
    for i in range(n):
        dp[i][i] = True
        if i < n-1:
            if str[i] == str[i+1]:
                dp[i][i+1] = True
                count += 1
    
    # 递推计算 dp
    for k in range(2, n):
        for i in range(n-k):
            j = i + k
            dp[i][j] = (str[i] == str[j]) and dp[i+1][j-1]
            if dp[i][j] and j-i+1 > 1:
                count += 1
    
    return count

性能分析

本算法的时间复杂度为 O(n^2)，其中 n 是字符串的长度。这是因为我们需要计算 dp 数组的所有元素。同时，由于我们只使用一个二维数组 dp 来储存中间结果，因此空间复杂度也是 O(n^2)。算法的空间复杂度可以通过滚动数组等空间优化技巧降低至 O(n)。

总结

本文介绍了如何计算二进制字符串的子串，并使得每个字符属于大小大于 1 的回文。我们使用了动态规划的方法，通过递推计算数组 dp 来判断字符串的子串是否为回文，然后统计符合条件的子串数量。本算法的时间复杂度是 O(n^2)，空间复杂度也是 O(n^2)。